ホップ代数を用いたスーパー代数群の研究

用Hopf代数研究超代数群

基本信息

批准号：
14J02022
负责人：
柴田大樹
金额：
$ 1.22万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2014
资助国家：
日本
起止时间：
2014-04-25 至 2016-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究の目的はホップ代数的手法を用いることで，これまで個別にされてきたスーパー代数群の表現論を統一的に見通しよく研究することである．ここに基礎体の標数は任意である．付随する通常の代数群が分裂簡約であるようなスーパー代数群を"準簡約スーパー群"と呼ぶことにする．前年度まで研究してきたシュヴァレー・スーパー群，一般線型スーパー群，BrundanとKleshchev(2003)が研究したスーパー群Q(n)はみな準簡約であり，準簡約スーパー群のクラスは重要な例を含んでいると分かる．今年度は前年度の結果を含むより一般の結果として，準簡約スーパー群の既約表現の構成と分類，およびコホモロジーの研究等を組織的に行なった．得られた研究成果は学位論文に纏めた．以下にその詳細を説明する．基礎体が標数0の代数閉体の場合，準簡約スーパー群Gの既約表現の構成は既にSerganova(2011)によってなされていたが，その手法はスーパー・リー代数Lie(G)を用いたものであり，基礎体が正標数のときは同様の構成を行うことはできないという問題点があった．本研究ではGの表現とスーパー・ハイパー代数hy(G)の可積分表現との間の一対一対応を示すことによりこの問題を解決し，任意標数の体上で既約表現の構成に成功した．またGが「よい放物スーパー部分群」を持てば，既約表現をパラメータ付けるウェイトの集合が完全に決定されることを示した．この条件を満たすものは一般線型スーパー群やI型のシュヴァレー・スーパー群などがある．さらにこのとき高次のコホモロジーが消滅するという"ケンプ消滅定理"のスーパー版が成立することが分かった．その系としてオイラー指標を書き下すことにも成功した．一般線型スーパー群の場合はZubkov(2006)が具体的な行列表示を用いて示していたが，本研究ではそれとは異なる手法でより理論的に導出したことになる．

本研究的目的是利用Hopf代数方法来研究超代数群的表示理论，这些超代数群已经被单独对待，统一的，具有清晰的视角。这里，基本场的特性是任意的。我们将与普通代数群相关联的超代数群称为“半还原超群”。 Chevalley 超群、一般线性超群以及 Brundan 和 Kleshchev (2003) 研究的超群 Q(n) 都是半约化超群，事实证明，半约化超群类包含重要的例子。今年，我们系统地进行了半约化超群的不可约表示的构造和分类以及上同调的研究，作为更通用的结果，包括去年的结果。所获得的研究成果总结在博士论文中。详细内容如下所述。当基本域是特征为0的代数闭域时，Serganova（2011）已经完成了半约化超群G的不可约表示的构造，但他的方法使用了超李代数Lie(G)问题。问题在于，当基本场具有正特性时，无法进行类似的构造。在本研究中，我们通过展示G的表示与超超代数hy(G)的可积表示之间的一一对应关系来解决这个问题，并成功地构造了任意特征域上的不可约表示。做过。我们还表明，如果 G 具有“良好的抛物线超子群”，则可以完全确定参数化不可约表示的权重集。满足这个条件的包括一般线性超群和 I 型谢瓦莱超群。此外，还发现“坎普消失定理”的超级版本成立，其中高阶上同调消失。我们还成功地写下了欧拉指数作为一个系统。 Zubkov (2006) 使用具体的矩阵表示演示了一般线性超群的情况，但在本研究中，我们使用不同的方法从理论上更深入地推导了它。