部分多様体の幾何学構造及び位相構造の研究

子流形的几何结构和拓扑结构研究

基本信息

批准号：
07F07324
负责人：
成慶明
金额：
$ 1.47万
依托单位：
Saga University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2007
资助国家：
日本
起止时间：
2007 至 2009
项目状态：
已结题

项目摘要

単位球面内のスカラー曲率が一定でコンパクト超曲面の弱安定性指数を研究し,ある種の条件の下で,全臍的でないスカラー曲率が一定でコンパクト超曲面の弱安定性指数はn+2以上であることを示した。弱安定性指数がn+2であるときこの超曲面は2つの球面のリーマン積に限る。単位球面内の完備超曲面に対して,位置ベクトルと法ベクトルにより2つの関数を定義した。この2つの関数を用いて,Gauss-Kronecker曲率が一定となる完備超曲面の特徴付けを与えた。Euclid空間内に平均曲率またはスカラー曲率が一定となるコンパクト埋め込み超曲面が標準球面しかないことがよく知られている。一方,標準球面と2つの球面のリーマン積は単位球面内のコンパクト埋め込み超曲面であるが,それ以外のコンパクト埋め込み超曲面が存在するかどうは重要な研究課題である。我々はk次平均曲率が一定でコンパクト埋め込み超曲面を沢山構成し,この問題を否定的に解決した。完備なリーマン多様体の有界領域における張り詰められた状態でのプレート(clamped plate)問題の固有値を研究した。Nashの定理を利用し,試験関数を作り,優れた評価を通じて,階数が低い固有値に関する最適な普遍不等式を得た。P.Li, Yauの部分的に解決したPolya予想及びWeylの漸近式により,n次元Euclid空間内の有界領域におけるLaplace作用素のDirichlet固有値問題の第k番目固有値に対する下限を与えた。張り詰められた状態でのプレート(clamped plate)問題の固有値に関して,AgmonとPleijelは漸近式を得て,Levine-Protterはkの最大位数の意味で最適な下限を得た。我々は領域の「moment of inertia」を利用し,領域の対称減少再配列方法を用いて,Levine-Protterの不等式を精密化した。即ち,kの最大位数のみならず,その次の位数項も導いた。

研究了单位球内恒定标量曲率的致密超曲面的弱稳定性指标，在一定条件下，非脐标量曲率恒定的致密超曲面的弱稳定性指标为n+2，结果表明：以上就是这种情况。当弱稳定性指标为n+2时，该超曲面仅限于两个球体的黎曼积。两个函数由单位球内完整超曲面的位置向量和法线向量定义。使用这两个函数，我们可以表征具有恒定高斯-克罗内克曲率的完整超曲面。众所周知，欧几里得空间中唯一具有恒定平均曲率或标量曲率的紧凑嵌入超曲面是标准球体。另一方面，标准球与两个球的黎曼积是单位球内的紧嵌入超曲面，但是否存在其他紧嵌入超曲面是一个重要的研究课题。我们构造了许多具有恒定的 k 平均曲率的紧凑嵌入超曲面，并消极地解决了这个问题。我们研究完全黎曼流形有界域中的夹紧板问题的特征值。利用纳什定理，我们创建了一个测试函数，并通过出色的评估获得了低秩特征值的最优普适不等式。通过P. Li、Yau和Weyl渐近公式的部分求解Polya猜想，我们给出了n维欧几里得空间有界域拉普拉斯算子狄利克雷特征值问题的第k个特征值的下界。关于夹板问题的特征值，Agmon和Pleijel得到了渐近公式，Levine-Protter得到了k最大阶意义上的最优下界。我们利用域的“惯性矩”，并使用域的对称约简重排序方法来改进 Levine-Protter 不等式。即，不仅导出了k的最大阶数，还导出了下一阶项。