弱い消散構造を持つ偏微分方程式系における安定性理論の新たな展開

弱耗散结构偏微分方程组稳定性理论新进展

• 批准号: 21KK0243
• 负责人: 上田 好寛
• 金额: $ 9.9万
• 依托单位: Kobe University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Fund for the Promotion of Joint International Research (Fostering Joint International Research (A))
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022 至 2024
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-21KK0243/
• 关键词: 安定性解析; 消散構造; 偏微分方程式論; 微分方程式論

基盤研究(Ｃ)にて採択中の研究課題は「消散構造を持つ非線形偏微分方程式系における安定性理論の構築」である。基課題では、流体力学や弾性体力学など様々な分野に現れる、消散構造を持つ非線形偏微分方程式系における解の挙動を解析することが目的であり、現在順調に研究を遂行中である。一方、本申請内容となる国際共同研究では、極めて脆弱な消散構造やその引き金となる分散性に着目し、これまでの研究で扱った方程式系よりも解析が困難と思われる偏微分方程式系の解の挙動を解明することで，方程式系に内在する消散構造の体系的な分類を行うことが大きな目標となる。本国際共同研究の鍵は分散性を持つ偏微分方程式系の詳細な解析である．そこで，分散性を持つ偏微分方程式系の専門家であるGSSI研究所のPierangelo Marcati教授とPaolo Antonelli准教授とともに具体的な物理モデルの安定性解析に取り組み、得られた結果を基に一般理論への展開を試みる。具体的には，量子流体力学に起因するQHD(quantum hydrodynamics)方程式系やQuantum Navier-Stokes方程式系などが分散性を有する偏微分方程式系であることが知られており、これら方程式系に対する安定性解析を手始めに行う。さらに、具体的な物理モデルによる解析を通じて分散性を持つ偏微分方程式系の持つ本質的な構造を捉えることで一般理論の構築に挑む。渡航前の準備として、令和４年度には分散性を持つBresse方程式系に対するスペクトル分解法やエネルギー法を用いて詳細な消散構造の解析を行った。本解析は現在も進行中であるが、研究の本質である消散構造の解析は終えており、令和５年度は本研究に関する研究発表も行なっていく。

基础研究（C）目前采用的研究主题是“具有耗散结构的非线性偏微分方程系统的稳定性理论的构建”。基本目标是分析流体力学和弹性动力学等各个领域中出现的具有耗散结构的非线性偏微分方程组的解的行为，目前研究进展顺利。另一方面，在作为本申请内容的国际联合研究中，我们着眼于极其脆弱的耗散结构及其引发的色散，并研究了被认为比分析更难的偏微分方程组。先前研究中处理的方程组的一个主要目标是通过阐明解的行为来系统地对方程组中固有的耗散结构进行分类。这项国际联合研究的关键是对离散偏微分方程组的详细分析。因此，我们与GSSI研究所的Pierangelo Marcati教授和Paolo Antonelli副教授（他们是色散偏微分方程组专家）一起对特定物理模型进行稳定性分析，并根据所得结果提出了通用理论。尝试扩大。具体而言，已知由量子流体力学产生的QHD(量子流体动力学)方程组和量子纳维-斯托克斯方程组是具有色散性质的偏微分方程组，并且已经开始研究这些方程组的稳定性。与分析。此外，我们将尝试通过使用具体物理模型的分析来理解色散偏微分方程系统的本质结构，从而构建一般理论。为了准备这次旅行，2020年我们利用谱分解和能量方法对色散布雷斯方程组的耗散结构进行了详细分析。虽然这项分析仍在进行中，但我们已经完成了耗散结构的分析，这是研究的本质，我们也将在 2020 财年展示与这项研究相关的研究。