極小部分多様体の研究

最小子流形的研究

• 批准号: 08740065
• 负责人: 成 慶明
• 金额: $ 0.7万
• 依托单位: Saga University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740065/
• 关键词: 極小超曲面; スカラー曲率; 第二基本形式; 主曲率; 部分多様体; 安定なcurrent

本研究の研究実業の概要は次の通りである。1.moving frame方法と積分公式を利用して、第二基本形式のHessianを評価して、球面内のcompactな極小超曲面を研究した。特に、Clifford torusの剛体性を研究した。すなわち、次の定理を示した:定理1.Mを球面S^<n+1>(1)内のスカラー曲率が一定のcompactな極小超曲面とする。O<S<n+n/3ならば、MはClifford torusである。ただし、SはMの第二基本形式の2乗ノルムである。定理2.Mを球面S^<n+1>(1)内の二つ異なる主曲率を持つcompactな極小超曲面とする。もしn【less than or equal】S【less than or equal】n+(2n^2(n+4))/(3〔n(n+4)+4〕)ならば、MはClifford torusである。ただし、SはMの第二基本形式の2乗ノルムである。2.変分公式を利用して、Euclid空間の部分多様体内に安定なcurrentの非存在性を研究した。特に、次の事を示した。定理3.MをcylinderR^k×S^<m-k>(c)orS^k(c_1)×S^<m-k>(c_2)内のcompactな部分多様体とする。もし任意のx∈Mで、T_xMの任意なorthonormal base{e_i,e_a}に対して、(i=1,…,p,a=p+1,…,m)が満たされれば、M内の安定なcurrentが存在しないかつH_p(M,Z)=H_<m-p>(M,Z)=0が成り立つ。ただし、hはMの第二基本形式で、H_p(M,Z)はMのp-th整係数singular homology群である。

本研究的研究工作概要如下。 1.利用移动坐标系法和积分公式，评估了Hessian的第二基本形式，研究了球内的紧致极小超曲面。我们特别研究了克利福德环面的刚性。即，给出了以下定理： 定理1.设M是球面S^<n+1>(1)内具有恒定标量曲率的紧极小超曲面。如果 O<S<n+n/3，则 M 是 Clifford 环面。然而，S 是 M 的第二基本形式的平方范数。定理2.设M为球体S^<n+1>(1)内具有两个不同主曲率的紧极小超曲面。如果 n[小于或等于]S[小于或等于]n+(2n^2(n+4))/(3[n(n+4)+4])，则 M 是克利福德环面。然而，S 是 M 的第二基本形式的平方范数。 2.利用变分公式，研究了欧几里得空间子流形中不存在稳定电流的问题。特别是，它显示了以下内容：定理3.设M为圆柱体中的紧子流形R^k×S^<m-k>(c)或S^k(c_1)×S^<m-k>(c_2)。如果对于任何 x∈M 的 T_xM 的任何正交基 {e_i,e_a} 都满足 (i=1,…,p,a=p+1,…,m)，则不存在稳定电流且 H_p(M, Z)=H_<m-p>(M,Z)=0 成立。然而，h是M的第二基本形式，H_p(M,Z)是M的第p个积分系数奇异同调群。

项目成果

Qing-Ming Cheng: "The rigidity of Clifford torus S^1(√)×S^(√)" Comment.Math.Helv.71(1). 60-69 (1996)

程清明：“Clifford 环面的刚度 S^1(√<1/n>)×S^<n-1>(√<(n-1)/n>)”Comment.Math.Helv.71 (1). 60-69 (1996)。

Qing-Ming Cheng: "Spacelike hypersurfaces with constant scalar curvature" to appear in Manuscripta Math.1-9 (1997)

Qing-Ming Cheng：“具有恒定标量曲率的类空间超曲面”出现在 Manuscripta Math.1-9 (1997) 中

Qing-Ming Cheng: "Nonexistence of integral currents II" Kyushu J.Math.51(1). 1-16 (1997)

程清明：“积分电流不存在II”九州J.Math.51(1)。

Hongcang Yang: "Chern's conjecture on minimal hypersurfaces" to appear in Math.Z.1-14 (1997)

杨宏仓：“陈省身关于最小超曲面的猜想”出现在 Math.Z.1-14 (1997)