Dirac－Klein－Gordon方程式系の解の漸近解析

Dirac-Klein-Gordon 方程组解的渐近分析

基本信息

批准号：
11J02083
负责人：
池田正弘
金额：
$ 0.83万
依托单位：
Osaka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2012
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11J02083/
关键词：
非線形偏微分方程式大域解の存在・非存在非線形シュレディンガー方程式ライフスパン非線形波動方程式零条件解の漸近挙動臨界指数分散・波動散乱理論解の爆発シュレディンガー方程式クライン・ゴルドン方程式ディラック方程式長距離散乱

项目摘要

本年度は,まず,空間2次元における,非線形項に微分を含む2次のシュレディンガー方程式系に対する解の漸近挙動に関する研究を行った.これは片山聡一郎氏(和歌山大)と砂川秀明氏(大阪大)との共同研究である.まず,空間2次元において2次の非線形項を持つシュレディンガー方程式は,線形解の摂動として取り扱うことが難しい興味深い状況である.すなわち,非線形項の構造までを考慮するに入れる必要がある.そこで,我々,あるシュレディンガー方程式系が大域解を持つための十分条件を提唱し,そして実際にその条件下では大域解が存在し,さらに解が漸近自由になることを示した.また,絶対値の冪乗型の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の解の爆発についての研究を行った.昨年,若杉勇太氏(阪大)と共同で非線形項の次数がある値よりも小さければ小さな初期値に対する解の爆発の結果が得られることを示した.しかし,その指数より大きい場合の大域解の存在・非存在は依然未解決問題として残っていた.そこで,されに研究を進めることにより,より大きな指数の範囲に対して,時間局所解が大域的には伸ばせないことを示した.また,解の存在時間についての評価も行った.さらに非線形消散型波動方程式についての解のライフスパンの上からの評価を導出した.これは高次元においては長い間未解決であった問題である.また,より一般の変数係数の摩擦項を持つものに対してもライフスパンの上からの評価を導出した.

今年，我们首先对二阶薛定谔方程组的解的渐近行为进行了研究，该方程组包括二维空间中非线性项的微分。这项研究是由 Soichiro Katayama（和歌山大学）和 Hideaki Sunakawa（大阪）进行的这是与大学的联合研究。这是一个有趣的情况；有必要考虑非线性项的结构，因此，我们提出了薛定谔方程组具有全局解的充分条件，并且实际上在这些条件下表明：解存在并且解变得渐近自由。我们还证明了带有幂型非线性项的非线性薛定谔方程的解是爆炸性的。去年，我们与 Yuta Wakasugi（大阪大学）合作，证明如果非线性项的阶数小于某个值，则可以获得小初始值的解爆炸。然而，存在或不存在当指数大于该指数时是否存在全局解仍然是一个悬而未决的问题。因此，通过进一步的研究，我们将能够解决当时的问题我们证明了局域解不能全局扩展。我们还评估了解的存在时间。此外，我们从上面导出了非线性耗散波动方程解的寿命的评估，这是一个尚未解决的问题。此外，我们还从寿命角度对具有可变系数的更一般的摩擦项进行了评估。