ランダム環境の下での拡散過程の挙動について

随机环境下扩散过程的行为

基本信息

批准号：
11J00229
负责人：
楠岡誠一郎
金额：
$ 1.02万
依托单位：
Tohoku University (2012)Kyoto University (2011)
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2012
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度はランダム環境の下での拡散過程の挙動に関係する2つの研究を行い、それぞれ論文にまとめ投稿し、論文誌への掲載が決まった。以下でそれぞれの研究について説明する。1つ目は、マルコフ半群をLp空間上の作用素と見たときの収束の速さについての研究を行った。この研究ではある測度に対するL2空間上のマルコフ半群を考え、この半群がエルゴート的であると仮定する。このとき、このマルコフ半群は任意のpに対してLp空間上のマルコフ半群に拡張もしくは制限することができ、これらの空間に関して整合性を持つ。マルコフ半群がエルゴート的であると仮定しているのでこの半群は定常分布に収束するが、この収束の速さは空間のノルムに依存するため、一般に収束の速さはpに依存する。そこでこの研究では収束の速さがどのようにpに依存するかを考察し、収束の速さがpに依存せずに一定の値となるための十分条件を求め、逆に収束の速さがpに依存するような例を求めることに成功した。また、超縮小性や超有界性と収束の速さ、そしてそのマルコフ半群と生成作用素のスペクトルとの関係を得た。2つ目は、ジャンプのみからなるようなレヴィ過程によってノイズを入れた確率微分方程式を考え、その確率微分方程式の解に対する、ノイズによる拡散の効果について研究を行った。特に我々が注目した拡散の効果は強フェラー性である。本研究で得られた結果は、ノイズがブラウン運動の従属操作によって表されるような形のレヴィ過程である場合、確率微分方程式の解が作る半群の強フェラー性が得られるというものである。ノイズに当たるレヴィ過程がブラウン運動の従属操作によって表されるという仮定から、ノイズ部分が生成する半群の良い性質が得られ、更に時間に関する短時間挙動などが詳しくわかるので、それを用いて摂動論を用いて元の確率微分方程式の解が作る半群の強フェラー性を得るというものである。

今年，我们进行了两项与随机环境下扩散过程行为相关的研究，每项研究都总结在一篇论文中，并提交在期刊上发表。每项研究的解释如下。首先，我们研究了当马尔可夫半群被视为 Lp 空间上的算子时的收敛速度。在本研究中，我们考虑 L2 空间上的马尔可夫半群的某个测度，并假设该半群是遍历的。此时，这个马尔可夫半群可以扩展到或限制为任意p的Lp空间上的马尔可夫半群，并且对于这些空间是一致的。由于我们假设马尔可夫半群是遍历的，因此该半群收敛到平稳分布，但收敛速度取决于空间的范数，因此一般来说收敛速度取决于 p。因此，在本研究中，我们考虑了收敛速度如何依赖于p，找到了收敛速度成为独立于p的常数值的充分条件，相反，我成功地找到了依赖于p的例子。我们还得到了超可约性、超有界性、收敛速度以及马尔可夫半群和生成算子的谱之间的关系。其次，我们考虑了由仅由跳跃组成的 Lévy 过程引入噪声的随机微分方程，并研究了噪声扩散对随机微分方程解的影响。特别是，我们关注的扩散效应是强铁性。本研究得到的结果是，当噪声是由布朗运动的相关运算表示的Lévy过程时，得到了由随机微分方程的解所创建的半群的强费勒性质。假设噪声对应的Lévy过程由布朗运动的相关运算表示，我们可以获得噪声部分生成的半群的良好性质，此外，我们可以理解相对于时间的短期行为详细地说，我们可以用它来研究微扰理论，以获得由原始随机微分方程的解所创建的半群的强费勒性质。