ある型の多次元確率微分方程式の解の一意性とその挙動について

关于某些类型的多维随机微分方程解的唯一性及其行为

基本信息

批准号：
08J05385
负责人：
楠岡誠一郎
金额：
$ 1.15万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度も引き続き、一般論が展開できないような悪い条件を持った確率微分方程式の解の挙動についての研究を行った。特に今年度の研究では、確率微分方程式の解が細いチューブから成る空間に押し込まれている状態を考え、チューブを細くしていくことで解の極限がグラフ上を動く確率過程となる場合に、その極限の確率過程の特徴付けを行った。この話題は、血管や神経の成す回路といった細い管から成るものの中を粒子が動くときに、そういった現象をグラフ上の偏微分方程式による数学モデルで記述するのが適切であるかを議論するものである。本研究では大きなポテンシャルによって拡散過程をチューブから成る多様体内に押し込め、このポテンシャルによりグラフに縮ませた場合の議論を主に行っている。チューブの縁に反射壁を置き、この反射によってチューブの内部に押し込まれる場合にもこの議論は通用する。このような問題を考えたとき、グラフのような、リーマン多様体では無い、退化した空間を動く確率過程を考えなくてはいけないという困難が現れ、標準的な議論が通用しない。しかし、グラフの辺の部分は一次元多様体であることに注目し、一次元拡散過程の理論を繰り返し使うことによって、チューブから成る多様体の内部を動く拡散過程がグラフ上の拡散過程に収束することを示し、さらにその極限の過程がグラフ上の偏微分方程式で特徴づけられることを示した。この偏微分方程式ではグラフの頂点の部分を境界として扱っているのであるが、その境界条件は重み付きキルヒホッフ条件という形で得られた。これは、細い管から成るものの中での粒子の挙動をグラフ上の偏微分方程式として扱う場合、頂点部分では重み付きキルヒホッフ条件をおくのが自然であるということを示している。この結果は論文としてまとめ、論文雑誌掲載が決まった。

今年，我们继续研究解决不良条件的随机微分方程解决方案的行为。特别是，在今年的研究中，我们考虑了将随机微分方程的解决方案推入由薄管组成的空间的状态，当解决方案的极限变成一个随机过程时，我们通过缩小管道来移动随机过程时，我们表征了该极限的随机过程。该主题讨论了当粒子穿过薄管（例如血管和神经回路）时，使用图上的部分微分方程在数学模型中描述这种现象是否适当。这项研究主要讨论了将扩散过程强迫由大型试管组成的歧管，而这种潜力将其降低到图。当将反射壁放置在管的边缘并通过这种反射将其强加于管的内部时，此论点也是有效的。当我们考虑这样一个问题时，我们必须考虑在退化空间中移动的随机过程，而不是诸如图形和标准参数之类的随机过程。但是，我们注意到该图的边缘部分是一维流形，并且通过反复使用一维扩散过程的理论，我们表明，在图形上，由管子组成的歧管内移动的扩散过程会收敛到图形上的扩散过程，并且限制过程由图形上的部分差分方程表征。该部分微分方程将图的顶点视为边界，并且以加权的基尔奇霍夫条件的形式获得边界条件。这表明当薄管内的颗粒的行为被视为图表上的部分微分方程时，自然地将加权的基尔chhoff条件放在顶点部分。结果是作为论文编译的，并决定在《论文杂志》上发表。

项目成果

期刊论文数量（0）

专著数量（0）

科研奖励数量（0）

会议论文数量（0）

专利数量（0）

Diffusion processes in thin tubes and their limits on graphs

细管中的扩散过程及其在图表上的限制

DOI：
发表时间：
期刊：
Annals of Probability
影响因子：
2.3
作者：
Sergio Albeverio;Seiichiro Kusuoka
通讯作者：
Seiichiro Kusuoka

従属操作を行った Brown 運動による確率微分方程式に対する Malliavin 解析

具有相关运算的布朗运动随机微分方程的 Malliavin 分析

DOI：
发表时间：
2010
期刊：
影响因子：
0
作者：
Sergio Albeverio;Seiichiro Kusuoka;Seiichiro Kusuoka;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;Seiichiro Kusuoka;Seiichiro Kusuoka;Seiichiro Kusuoka;Seiichiro Kusuoka;楠岡誠一郎
通讯作者：
楠岡誠一郎

Malliavin calculus for stochastic differential equations driven by subordinated Brownian motions

DOI：
10.1215/0023608x-2010-003
发表时间：
2010-09
期刊：
Kyoto Journal of Mathematics
影响因子：
0.6
作者：
S. Kusuoka
通讯作者：
S. Kusuoka

Malliavin 解析による確率微分方程式の解の密度関数の存在

Malliavin分析随机微分方程解密度函数的存在性

DOI：
发表时间：
2009
期刊：
影响因子：
0
作者：
Sergio Albeverio;Seiichiro Kusuoka;Seiichiro Kusuoka;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;Seiichiro Kusuoka;Seiichiro Kusuoka;Seiichiro Kusuoka;Seiichiro Kusuoka;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎;楠岡誠一郎
通讯作者：
楠岡誠一郎

Existence of densities of solutions of stochastic differential equations by Malliavin calculus

Malliavin微积分随机微分方程解密度的存在性