非線形可積分系の法素数還元

非线性可积系统的模态素数约简

基本信息

批准号：
11874030
负责人：
原岡喜重
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Kumamoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2001
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-11874030/
关键词：
正標数体上の微分方程式 Grothendieck予想パンルベ方程式ソリトン

项目摘要

本研究は,線形常微分方程式に対して行われているp進解析を,パンルベ方程式を含む非線形可積分系にまで適用範囲を広げ,その特殊解の構造や数論的対称性を調べる手法を開発することを目指していた。今年度はソリトンやパンルベ方程式の代数関数解の解析を目指して,不確定特異点におけるp進解析の研究を進めた。雛形としてHermite-Weber方程式を採り上げ,無限遠点における発散級数解に対して法素数還元を考察した。級数の発散性と還元に対する整合性の相関を見出し,確定特異点の場合との相違を新しい知見として獲得した。またラプラス変換を確定特異点型の場合の結果を不確定特異点型に翻訳するものと見て,その法素数還元との整合性の追求することが大きな手がかりとなる。今年度は,多重積分で表される確定特異点型の関数の接続係数を計算し,そのラプラス変換となる不確定型の関数のStokes係数との対応を研究した。さらに,パンルベ方程式等の母胎となる微分方程式の変形理論と,法素数還元との整合性を考察した。その手がかりとして,変形を許す,すなわちnon-rigidな微分方程式を対象に,変形の特異点となる積分表示を持つ解の分布を調べた。このような方程式は,p-曲率予想の視点からも興味深いものである。また,微分方程式の拡大縮小の手法に基づき,指定された積分表示を特殊解として持つような変形方程式の構成を試みている。これらの解析的な手続を,D-加群のカテゴリーで定式化し,数論的操作として適用できるようにすることが今後の課題である。

这项研究将线性常微分方程的 p-adic 分析的应用范围扩展到包括 Painlevé 方程在内的非线性可积系统，并开发了一种研究特殊解的结构和算术对称性的方法。今年，我们开展了不确定奇点下的p进分析研究，旨在分析孤子和Painlevé方程的代数函数解。以 Hermite-Weber 方程为模板，我们考虑无限点处发散级数解的模素数约简。我们发现了级数的散度与其一致性在约简方面的相关性，并获得了关于与确定奇点情况的差异的新知识。另外，将拉普拉斯变换视为将确定奇点类型的结果转化为不定奇点类型的结果，并追求其与模量约简的一致性将是一个主要线索。今年，我们计算了用多重积分表示的确定奇异函数的连接系数，并研究了它们与不确定函数的斯托克斯系数（即拉普拉斯变换）的对应关系。此外，我们还考虑了构成 Painlevé 方程基础的微分方程变形理论与模素数约简之间的兼容性。作为线索，我们研究了具有积分表达式的解的分布，这些积分表达式是允许变形的非刚性微分方程的变形奇异点。从 p 曲率预测的角度来看，这样的方程也很有趣。此外，基于微分方程的标度方法，我们试图构造具有指定积分表达式作为特解的变形方程。未来的挑战是在 D 模块类别中制定这些分析程序，并使它们适用于数论运算。