差分方程式の解の超越性と既約性の研究

差分方程解的超越性和不可约性研究

基本信息

批准号：
08J04941
负责人：
西岡斉治
金额：
$ 1.15万
依托单位：
The University of Tokyo
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2008
资助国家：
日本
起止时间：
2008 至 2010
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は二つの事柄について研究した.一つは一階有理的差分方程式の超越関数解の非初等性に関するものである.一階線形差分方程式や余弦関数の倍角公式,正接関数の倍角公式などは一階有理的差分方程式である.また,超越関数とは代数関数でない関数のことで,初等的な関数とは,ここでは一階線形差分方程式の解によって代数的に表示できる関数のことである.得られた結果は,方程式の有理式部分の次数が2以上であれば超越関数解は非初等的であるというもので,系として,指数関数や三角関数,ワイエルシュトラスのペー関数の,倍角公式を持つ関数としての非初等性が得られる.もう一つの研究ではボアンカレの乗法公式が定義する関数を扱った.ボアンカレの論文では,それらの関数は一価関数の新しいクラスを構成すると,「新しい」の意味が明確にされずに主張されている.私はある種の乗法公式の既約性を示すことでこの主張が正しいことを証明した.ここでは分解可能拡大に属す超越関数解が存在する場合に方程式は可約であるといい,そうでない場合,既約であるという.関数の初等性と方程式の既約性には関係があり,実際初等的な関数は必ず分解可能拡大に属す.一方,第一研究で挙げた指数関数,三角関数,ペー関数は何れも初等的ではないが,それぞれがみたす倍角公式が一階有理的差分方程式であることから,分解可能拡大に属すことがわかる.さらに,第二研究で扱ったボアンカレの「新しい」関数について,乗法公式が特に倍角公式であるとき,「新しい」関数は初等的な関数や指数関数,三角関数,ペー関数などの分解可能拡大に属す関数によっては有理的にも代数的にも表されない.

今年，我们研究了两件事。一个是关于一阶有理差方程的先验函数解决方案的非主要性质。一阶线性差方程，余弦函数的双角度公式和分线函数的双角度公式是一阶有理差方程。此外，先验函数是一个不是代数的函数，在这里，主函数是可以通过求解一阶线性差方程来显示代数的函数。获得的结果是，如果方程的有理方程部分为2或更多，则先验函数解决方案是非主要的，并且作为一个系统，指数函数，三角函数函数和Weielstrus的PAE函数，非主要性质作为具有双角度式的函数获得。在另一项研究中，定义了Boancare的乘法公式。在Boancare的论文中，当这些函数形成新的单价函数时，“新”的含义将表达。有人认为，通过显示某些乘法公式的不可约性是正确的。在这里，当有属于可分解膨胀的先验函数解决方案时，该方程式被认为是可限制的，如果没有，则是不可约的。该函数的主要功能和方程式的不可约性是相关的，实际上，基本函数始终属于可分解的扩展。另一方面，尽管第一项研究中提到的指数，三角学和PA函数不是基础，但每个发现的双角度公式是一阶有理差方程，但很明显它们属于可分解的扩张。此外，关于Boincaré的“新”功能，在第二项研究中进行了讨论，当乘法公式特别是双角度公式时，“新”功能并非理性或代数由属于可分解的膨胀功能（例如基本功能，指数，指数，Trigenons和PA函数）表示。