差分方程式の解の研究を動機とする差分代数の理論構築

以差分方程解研究为动力的差分代数理论构建

基本信息

批准号：
11J05166
负责人：
西岡斉治
金额：
$ 0.51万
依托单位：
Aoyama Gakuin University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2011
资助国家：
日本
起止时间：
2011 至 2013
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は主に二つの事柄について研究した。一つは、ポワンカレの乗法公式が定義する関数についての研究で、有理関数による近似関数列を構成した。この近似関数列は単純な方法で作られ、局所一様収束する。有理関数のグラフを描くことはできるから、結果、関数のグラフの概形が得られる。ポワンカレの乗法公式は連立有理的q差分方程式に条件を付加したものと捉えられる。また、この方程式群には分解可能拡大の意味で既約なものが多く、その意味で新しい関数を定義していると言える。応用として、いくつかのqパンルヴェ方程式は適当に変形するとポワンカレの乗法公式になることが確認できる。このことから、qパンルヴェ方程式のいくつかの解に対して、そのグラフの概形が得られる。もう一つの研究では、一階有理的差分方程式をみたす関数達の代数的独立性を判定する簡便な方法を得た。関数達が多変数代数方程式をみたさないとき、代数的独立であると言う。今回の判定法は方程式の有理式部分の次数のみを用いる。この場合の次数とは、分子の次数と分母の次数の最大値である。例えば、x、指数関数、ワイエルシュトラスのペー関数の倍角公式の有理式部分の次数は、それぞれ1、2、4と異なっているから、これらは複素数体上代数的独立である、といった具合である。一階有理的差分方程式の解は定義より必ず分解可能拡大に属し、また、有理式部分の次数が2以上のものは決して可解でないため、それらの間の違いが見えにくかったが、判定法により、次数を用いてクラス分けできるということがわかった。

今年，我们主要研究了两件事。一个是对由Pointauret的乘法公式定义的功能的研究，该功能使用有理函数构建了一系列近似函数。这个近似序列以简单的方式创建，并在本地均匀收敛。由于可以绘制理性函数的图表，因此结果是该函数图的概述。 Pointeret的乘法公式可以看作是将条件添加到同时有理Q-差异方程中。此外，这些方程中的许多方程在可分解的扩展方面具有不可还原的值，从这个意义上讲，可以说是定义了新功能。作为一个应用程序，可以看出，某些Q-Panreve方程可以适当地转换为PointAuret的乘法公式。这给出了Q-Panreve方程的多种解决方案的图表概述。另一项研究获得了一种简单的方法来确定视图一阶有理差方程的函数的代数独立性。当功能不查看多变量代数方程时，据说它们是代数独立性。这次，判断方法仅使用等式的有理方程部分的顺序。在这种情况下，程度是分子程度和分母顺序的最大值。例如，X，指数函数和Weielstrus的pè函数的双角度公式的有理方程部分的顺序分别与1、2和4的函数不同，因此这些是复杂形成的代数独立性。一阶有理差方程的解决方案始终属于可分解的扩展，而不是定义，并且由于有理方程部分的订单为2或更高，因此永远无法看到它们之间的差异，但是发现可以使用订单使用分类方法。