正準交換関係をめぐる量子力学の数学的構造の解明

阐明与正则交换关系相关的量子力学的数学结构

• 批准号: 07740175
• 负责人: 渡辺 秀司
• 金额: $ 0.51万
• 依托单位: Toyota National College of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07740175/
• 关键词: 特異性をもつ作用素; Sobolev型の補題; Sobolev型の埋め込み定理; 係数が特異な偏微分方程式; Fourier交換の1つの一般化

Wignerによって発見された交換関係は,量子力学における正準交換関係の1つの拡張になっている。この交換関係にしたがう1次元調和振動子の運動量作用素は-iDで与えられる.ここで,D=a/(ax)-c/xR,Ru(x)=u(-x)である。そしてcは実数のパラメータである.c=0のときにはD=a/(ax)となりこのときにはWigner型の交換関係は正準交換関係を再現する.さて,作用素a/(ax)については偏微分方程式論で重要なSobolevの補題,そしてまたSobolevの埋め込み定理が知られている.その結果,偏微分方程式の弱い解の‘滑らかさ'についての知見が得られる.そこで,原点x=0において特異となる上記の作用素Dについても同様な補題や定理が成立するのか,を調べた.その結果として肯定的な結論を得た.この成果を2つの論文にまとめ,AMSのProceedings誌に掲載が決定している(研究発表欄の2論文).作用素DについてのSobolev型の補題やSobolev型の埋め込み定理を,特異な係数をもつ偏微分方程式への応用をも行った.これらの証明では,以前に導入したFourier変換の1つの一般化が本質的な役割をはたしている.この変換をBと記せば,BはBDB^*=iyを満たす.Fourier変換Fは,Fa/(ax)F^*=iyなので,この意味でBはFourier変換Fの1つの一般化と見做せる.このようにして,係数が特異なある種の偏微分方程式の解について,その滑らかさのみならず原点x=0における特異性についての知見が得られた.

维格纳发现的对易关系是量子力学中正则对易关系的延伸。遵循这种交换关系的一维谐振子的动量算子由 -iD 给出，其中 D=a/(ax)-c/xR，Ru(x)=u(-x)。而c是实参。当c=0时，D=a/(ax)，此时，维格纳型交换关系再现了规范交换关系。现在，对于算子a/(ax)，偏微分方程论中很重要的索博列夫引理以及索博列夫嵌入定理都是已知的。结果，我们可以获得关于偏微分方程弱解的“平滑性”的知识。因此，我们研究了类似的引理和定理是否也适用于上述算子 D，它在原点 x = 0 处是奇异的。结果，我们得出了积极的结论。结果总结为两篇论文，并被 AMS Proceedings 杂志接受发表。 （研究报告栏中有 2 篇论文）。我们还将算子 D 的 Sobolev 型引理和 Sobolev 型嵌入定理应用于具有奇异系数的偏微分方程。傅立叶变换的一种推广发挥了重要作用。如果我们表示。这个转变为 B，B 变成 B满足DB^*=iy。傅里叶变换F为Fa/(ax)F^*=iy，所以从这个意义上来说，B可以看成是傅里叶变换F的推广。这样，系数关于对于一类奇异偏微分方程的解，我们不仅获得了其光滑性的知识，而且还获得了其在原点x=0处的奇异性的知识。

项目成果

Shuji Watanabe(渡辺秀司)(単著): "Sobolev Type Theorems for an Operator with Singularity" Proceedings of the American Mathematical Society.

Shuji Watanabe（单一作者）：“Sobolev Type Theorems for an Operator with Singularity”美国数学会论文集。

Shuji Watanabe(渡辺秀司)(単著): "An Embedding Theorem of Sobolev Type for an Operator with Singularity" Proceedings of the American Mattematical Society.

Shuji Watanabe（单一作者）：“An Embedding Theorem of Sobolev Type for an Operator with Singularity”美国数学学会论文集。