強結合超伝導におけるエリアシュベルグ方程式の作用素論的研究

强耦合超导中Eliashberg方程的算子理论研究

基本信息

批准号：
21K03346
负责人：
渡辺秀司
金额：
$ 1万
依托单位：
Gunma University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

超伝導の理論であるエリアシュベルグ理論におけるエリアシュベルグ方程式を解くことは極めて強く切望されているにもかかわらず、連立の非線形積分方程式であるため、解析的にほとんど解けていません。したがって、エリアシュベルグ方程式の解の存在や一意性、解の温度についての性質を解析的に示すことは極めて困難です。連立の非線形積分方程式である上のエリアシュベルグ方程式に不動点定理を応用して、解の存在や一意性、解の温度についての性質を導きますが、その際、解が属するであろうと期待される適切なバナハ空間と、解が温度についてのある種の性質をもつであろうと期待される適切な部分集合を慎重に選ぶ必要があります。そこで、電子・フォノン間の結合定数が非常に小さい場合について、令和4年度も調べました。エリアシュベルグ方程式に現れているポテンシャルに対して適切な、以前の条件よりもより弱い条件を発見して、エリアシュベルグ方程式を扱うべきバナハ空間とその部分集合を適切に設定して不動点定理を応用しました。このようにして、電子・フォノン間の結合定数が非常に小さい場合におけるエリアシュベルグ方程式の解の存在と一意性に関する数学作用素論的な別証明を与えることに遂に成功しました。さらに、解の温度についての連続性や偏微分可能性、さらには温度についての予想されていなかった性質をも導き出すことができました。この研究成果を研究論文としてNature誌の姉妹誌であるScientific Reports誌で発表したり、また国際会議で招待講演を行いました。数学会でもこの研究成果を発表しました。

尽管Eliashberg理论（即超导理论）中对求解Eliashberg方程有着极其强烈的愿望，但由于它是联立非线性积分方程，因此很少被解析求解。因此，解析证明Eliashberg方程解的存在性和唯一性，以及解的温度性质是极其困难的。我们将不动点定理应用于上面的 Eliashberg 方程（这是一个非线性积分方程组），以导出解的存在性、唯一性和温度的属性。我们期望解具有某些关于温度的属性的适当子集。因此，在2020财年，我们还研究了电子和声子之间的耦合常数极小的情况。找到一个比前一个条件更弱的适合 Eliashberg 方程中出现的势的条件，适当设置应处理 Eliashberg 方程的 Banach 空间及其子集，并应用不动点定理。这样，我们终于成功地提供了另一种数学算子——电子与声子耦合常数极小时Eliashberg方程解的存在性和唯一性的理论证明。此外，我们还能够推导出解相对于温度的连续性和偏微分性，以及与温度有关的意外特性。我将这项研究的结果作为研究论文发表在《自然》的姊妹期刊《科学报告》上，并在一个国际会议上做了受邀报告。这项研究的结果也在一次数学会议上公布。