対数型Sobolevの不等式を用いた非線形発展方程式の解の正則性の研究

利用对数Sobolev不等式研究非线性演化方程解的规律性

基本信息

批准号：
19J20763
负责人：
勝呂剛志
金额：
$ 1.6万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-25 至 2022-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19J20763/
关键词：
Keller－Segel 系移流拡散方程式特異極限問題最大正則性実補間理論対数型 Sobolev の不等式一様局所可積分空間適切性エントロピーモーメント不等式準線形偏微分方程式不確定性原理

项目摘要

本年度に実施した研究の成果として、走化性粘菌の運動を記述する Keller－Segel 系の初期値問題の零緩和時間極限を一様局所可積分空間で示した。この方程式系は2本の放物型方程式からなる非線形偏微分方程式系であり、方程式中のパラメータの極限操作により、第二式が放物型から楕円型と偏微分方程式を規定する型が変わるため、これを特異極限と呼ぶ。この研究は昨年度に実施した研究である、Keller－Segel 系の単純化である移流拡散方程式の初期値問題の一様局所可積分空間における適切性の研究に端を発するものであり、小川卓克氏 (東北大学) との共同研究に基づくものである。特異極限の収束の証明においては、一様局所可積分空間における熱方程式の初期値問題の解の最大正則性理論を適用する。最大正則性理論は UMD 空間と呼ばれる、Lebesgue 空間を代表とする性質を擁する函数空間上で整備されている。一方で、一様局所可積分空間は UMD 空間ではないことが知られており、最大正則性を示すためには個別の議論を要する。本研究では、一様局所可積分空間の実補間空間を用いることで、熱方程式の初期値問題の解の一般化最大正則性を示した。これは、Keller－Segel 系や移流拡散方程式に限らず、流体の運動を記述する Navier－Stokes 方程式の初期値問題への応用が期待される。また、熱方程式の解の最大正則性理論は解析半群との関わりが強い一方で、対数型 Sobolev の不等式も熱半群の消散評価と相関関係を持つので、放物型偏微分方程式の数学的構造を代表する性質としての最大正則性と対数型 Sobolev の不等式の関連が期待される。

作为今年进行的研究的结果，我们证明了 Keller-Segel 系统初始值问题的零弛豫时间极限，该系统描述了趋化粘菌在均匀局部可积空间中的运动。该方程组是由两个抛物型方程组成的非线性偏微分方程组，通过控制方程中参数的极限，第二个方程从抛物型变为椭圆型，从而定义偏微分方程的形式，因此，这称为奇异极限。这项研究源于去年对平流扩散方程初值问题的适用性的研究，该方程是 Keller-Segel 系统的简化，在均匀局部可积空间中是基于与 Mr. 的共同研究。（东北大学）。在证明奇异极限的收敛性时，我们将解的最大正则理论应用于均匀局部可积空间中热方程的初值问题。最大正则理论是在称为UMD空间的函数空间上发展起来的，它具有代表勒贝格空间的性质。另一方面，众所周知，一致局部可积空间不是UMD空间，需要单独讨论以显示最大正则性。在本研究中，我们通过使用均匀局部可积空间的实插值空间证明了热方程初值问题解的广义最大正则性。预计这不仅适用于凯勒-席格尔系统和平流扩散方程，而且还适用于描述流体运动的纳维-斯托克斯方程的初值问题。此外，虽然热方程解的最大正则性理论与解析半群有很强的关系，但对数Sobolev不等式也与热半群的耗散评估有相关性，因此抛物型偏微分方程的数学预计为作为结构结构的特征的最大正则性与对数索博列夫不等式之间存在关系。