低次元力学系におけるカオスの研究

低维动力系统混沌研究

基本信息

批准号：
07740143
负责人：
辻井正人
金额：
$ 0.64万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1995
资助国家：
日本
起止时间：
1995 至无数据
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07740143/
关键词：
カオス分岐

项目摘要

本年度の私の研究は主に1次元力学系におけるエントロピーの単調性と呼ばれる問題についてのものです。具体的にはある単峰写像f:(-∞,∞)→(-∞,∞)が与えられたとき(単峰とは連続かつ区分単調で単調区間が2つであることを意味する)に族f_t(x)=f(x)+tを考え、fにどのような条件があれば位相的エントロピーh(f_t)がtについて単調増加になるか?という問題です。この問題はカオス的な系を含むような1次元力学系の族における分岐の細かい構造をとらえるという意味で1次元力学系のカオスを考える上での一つの目標とされるものです。私は本年度の研究においてまず過去のこの方面の二つの研究(松元重則氏及びD. Sullivan氏)が実はある解釈の下で非常によく似たものであることを発見し、さらに、それらを発展させることで単調性を部分的に保証する手法を開発し、単調性についての部分的な結果をいくつか得ることに成功しました。ただし部分的な結果とはいくつかの数値についてh(f_t)がその値を越えるとそのパラメータより大きいパラメータについてはエントロピーがその値より必ず大きいという結果です。もちろんこの結果を全ての数値について確かめることができれば単調性の問題は解決することになります。現在のところ上記の問題の全面的な解決は難しいだろうと考えていますが、本年度の研究で得た発想は今後の研究において重要な位置を占めるものと確信しています。なお上記の成果を得る上で計算機による支援やいくつかの大学(北見工業大学、富山大学、京都大学)を訪れて行った専門家との討論は欠かせないものでした。

我今年的研究主要是关于一维动力系统中的熵单调性问题。具体来说，当给定某个单峰映射 f:(-∞,无穷大)→(-无穷大，无穷大)时（单峰意味着具有两个单调区间的连续且分段单调），问题是，考虑族 f_t(x)=f( x)+t，在什么条件下拓扑熵h(f_t)相对于t单调递增？在理解包括混沌系统的一维动力系统族中分岔的详细结构的意义上，这个问题被认为是考虑一维动力系统中的混沌时的目标之一。在今年的研究中，我首先发现过去在这个方向上的两项研究（松本重典先生和D. Sullivan先生）在某些解释下实际上非常相似，我进一步开发了一种通过以下方式部分保证单调性的方法。这样做，并成功获得了一些关于单调性的部分结果。然而，部分结果是这样的结果：对于某些数字，当h(f_t)超过该值时，大于该参数的参数的熵总是大于该值。当然，如果我们能够对所有数字都证实这个结果，那么单调性问题就迎刃而解了。目前，我们认为彻底解决上述问题还比较困难，但我们有信心今年研究中获得的想法将在未来的研究中发挥重要作用。为了实现上述成果，计算机的支持以及与访问多所大学（北见工业大学、富山大学、京都大学）的专家的讨论是必不可少的。