楕円型及び放物型方程式の解の存在と構造の研究

椭圆方程和抛物方程解的存在性和结构研究

基本信息

批准号：
06740100
负责人：
溝口紀子
金额：
$ 0.58万
依托单位：
Tokyo Gakugei University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1994
资助国家：
日本
起止时间：
1994 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

平面上の曲線の発展方程式の解は異方性がない媒体においては有限時間内に一点に縮むことが知られていて,縮み方は円周から成る自己相似解であることが,すでに証明されている.しかし,異方性がある場合には有限時間で一点に縮むことは知られているが,そのときの様子はまだ分かっていない.そこで,C.Dohmen氏(Univ.of Bonn)と儀我美一氏(北海道大学)との共同研究によって,異方性がない場合に自己相似解の存在を証明した.我々の方法は,2階の非線型常微分方程式をLeray-Schauder degree theoryを使って解いている.解のa priori評価の方法は,他の方程式にも適用できる可能性がある.また,この結果は,3次元以上及び退化した場合への拡張の手がかりになるのではないかと思われる.また,鈴木貴氏(愛媛大学)との共同研究により,幅を固定した円環領域において,内径をパラメータとして無限大にしたときの半線型楕円型方程式の正値解の挙動を調べて,分類した.この結果は解の対称性の破壊の問題と関連がある.解の対称性の破壊は,3次元の場合だけが解決が遅れたが,その理由もこの結果によって明らかになる.この結果の証明では3次元の直交群の分類が必要になるが,それは阿部孝順氏(信州大学)の助けを借りた.証明の方法は任意の3次元の直交群に対して,それによって不変な関数から成る空間を考え,そこでmountain pass lemmaを使って最小エネルギー解を求め,その性質を用いて,解の挙動を分類した.

已知平面上曲线演化方程的解在无各向异性的介质中在有限时间内收缩到单点，并且已经证明该收缩是由圆周组成的自相似解然而，虽然已知在各向异性的情况下，它会在有限的时间内收缩到单个点，但当时的情况尚不清楚。通过与 Yoshikazu Giga（北海道大学）和 Yoshikazu Giga（北海道大学）的联合研究，我们证明了在不存在各向异性的情况下自相似解的存在性。我们的方法将二阶非线性常微分方程转换为使用 Schauder 度的 Leray 求解理论.解a先验评估方法有可能适用于其他方程。此外，这个结果可能为将其扩展到三维或更多维度和退化情况提供线索。此外，Takashi Suzuki 先生（爱媛大学），我们对固定宽度圆环区域内径设为无穷大时半线性椭圆方程正解的行为，结果如下：这与解的对称性破缺问题有关。解的对称性破缺问题仅在 3 维情况下延迟，但从这个结果中可以清楚地看出其原因。在这个结果的证明中，有必要对的正交群进行分类，这是在 Takayuki Abe（信州大学）的帮助下完成的。我们使用传递引理来找到最小能量解，并使用其属性对解的行为进行分类。