Blowup phenomena in chemotaxis system

趋化系统中的爆炸现象

基本信息

批准号：
20H01814
负责人：
溝口紀子
金额：
$ 11.23万
依托单位：
Tokyo Gakugei University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-20H01814/
关键词：
爆発 chemotaxis Hamilton-Jacobi 走化性方程式系 Keller-Segel 爆発現象 Keller-Segel系

项目摘要

非線形放物型方程式において最初に爆発問題が研究された藤田方程式ではタイプIの爆発とタイプIIの爆発が共存し、タイプIの爆発の方が数学的な考察が容易である。しかしながら、２次元の走化性方程式系ではタイプIIの爆発しか起こらない。粘性をもHamilton-Jacobi方程式も走化性方程式系と同様に非線形項に勾配を含み、タイプIIの爆発しか起こらない。研究代表者は、この類似性の観点から、粘性をもつHamilton-Jacobi方程式の爆発解や爆発後に延長された弱解の挙動について研究した。空間次元が１次元の場合に、代数学や幾何学の概念である組み紐群を応用して爆発と境界条件回復のレイトを完全に分類し、分類された各々の場合に解の挙動を決定した。非常に長い論文になったのでプレプリントとしてArXivに投稿し（arXiv:2110.12934）、現在論文としての投稿方法を検討している。研究分担者の中西賢次氏は、４次元のZakharov系について解の大域挙動を調べ、基底状態の成すポテンシャル井戸の内側エネルギー領域において解の大域存在を示した。消散性非線形Klein-Gordon方程式の解を調べ、反発性２ソリトンの近傍にある解の挙動を５通りに分類する不変多様体を構成した。Trudinger-Moser不等式の最大化元の存在・非存在の境界となる臨界増大度について調べ、以前の２次元の結果を一般次元に拡張した。研究分担者の高田了氏は、3次元層状領域におけるCoriolis力付きNavier-Stokes方程式の初期値問題を考察し、スケール臨界なSobolev正則性をもつ初期速度場に対して、回転速度が十分大きい場合の時間大域的適切性を証明した。また回転速度を無限大とする特異極限において、同方程式の時間大域解が2次元Navier-Stokes方程式の時間大域解に収束することを証明した。

在藤田方程中，首先用非线性抛物线方程研究爆炸问题，I型爆炸和II型爆炸并存，并且I型爆炸更容易在数学上考虑。然而，在二维趋化方程组中，仅发生II型爆炸。与趋化性方程组一样，粘度方程和 Hamilton-Jacobi 方程都包含非线性项中的梯度，并且仅发生 II 型爆炸。从这种相似性的角度来看，主要研究者研究了粘性 Hamilton-Jacobi 方程的爆炸解和爆炸后弱解扩展的行为。当空间维度为一维时，通过应用代数和几何的概念编织群对爆炸和边界条件恢复率进行完全分类，并确定每个分类情况的解决方案的行为。由于这是一篇很长的论文，我将其作为预印本提交给 ArXiv (arXiv:2110.12934)，目前正在考虑如何将其作为论文提交。联合研究员 Kenji Nakanishi 研究了四维 Zakharov 系统解的全局行为，并证明了基态形成的势阱的内部能量区域中解的全局存在性。我们研究了耗散非线性 Klein-Gordon 方程的解，并构造了一个不变流形，将排斥 2-孤子附近的解的行为分为五种方式。我们研究了临界增长，即 Trudinger-Moser 不等式最大化存在与不存在之间的边界，并将之前的二维结果扩展到一般维度。联合研究员 Ryo Takada 考虑了三维层状区域中具有科里奥利力的纳维-斯托克斯方程的初值问题，发现如果旋转速度对于具有尺度临界 Sobolev 正则的初速度场足够大，则证明了的时间全局适用性。我们还证明了在转速无穷大的奇异极限下，同一方程的时间全局解收敛于二维纳维-斯托克斯方程的时间全局解。