非線形放物型偏微分方程式における定常構造および自己相似性と解の挙動

非线性抛物型偏微分方程中的平稳结构、自相似性和解行为

基本信息

批准号：
20K03685
负责人：
内藤雄基
金额：
$ 2.75万
依托单位：
Hiroshima University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2020
资助国家：
日本
起止时间：
2020-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本研究では、非線形放物型方程式に対して、解の挙動と定常問題の解構造および自己相似性との関連性について考察を行う。とくに Sobolev 優臨界および Sobolev 臨界の場合において、特異定常解および自己相似解の構造を明らかにするとともに放物型方程式の解の振る舞いに及ぼす影響を考察する。今年度は，一般の優 Sobolev 臨界の非線形項を持つ楕円型方程式における特異解の存在、一意性、漸近的性質について考察を行った。とくに非線形項の具体形を仮定せず、べき乗型や指数型を含む広範な非線形楕円型方程式を考えた。リーディングタームがべき乗関数とは限らない非線形項やTrudinger-Moser 型不等式に現れる非線形項を始めとする優指数関数を扱うために，藤嶋ー猪奥による条件を用いて考察を行った。この仮定の下、球対称な特異解は一意に存在すること，さらにその一意特異解は正則な解の無限極限として与えられることを示すとともに，特異解の原点近傍における漸近挙動を明らかにすることができた。さらに，優指数関数を非線形項に持つ問題に対しては，特異解の詳細な漸近挙動を導くことができた。証明においては，Pohozaev 型恒等式および先験的評価を利用することにより、正則解の極限として特異解が得られること、さらに解の増大オーダーを限定することなく解の存在・一意性を示すことができた。これらの結果の応用として非線形楕円型偏微分方程式に対する分岐問題に対して特異解が存在する分岐パラメータは一意であること、解のもつパラメータを無限大にすると特異解に収束することを示すことができた。

在本研究中，我们考虑解的行为、平稳问题的解结构和非线性抛物型方程的自相似性之间的关系。特别是，在索博列夫超临界和索博列夫临界情况下，我们阐明了奇异平稳解和自相似解的结构，并考虑了它们对抛物方程解的行为的影响。今年，我们考虑了具有一般优越 Sobolev 临界非线性项的椭圆方程中奇异解的存在性、唯一性和渐近性质。我们没有假设非线性项的任何特定形式，但考虑了各种非线性椭圆方程，包括幂律和指数类型。为了处理主导指数函数，包括首项不一定是幂函数的非线性项以及出现在 Trudinger-Moser 型不等式中的非线性项，我们使用 Fujishima 和 Inoku 提出的条件来考虑它们。在此假设下，我们将证明球对称奇异解唯一存在，并且唯一奇异解作为正则解的无限极限给出，并阐明了奇异解在原点附近的渐近行为。此外，对于具有高指数函数作为非线性项的问题，我们能够导出奇异解的详细渐近行为。在证明中，利用Pohozaev型恒等式和先验求值，可以得到奇异解作为正则解的极限，并且可以在不限制解的升阶的情况下证明解的存在唯一性。我能够做到。作为这些结果的应用，我们可以证明非线性椭圆偏微分方程分岔问题存在奇异解的分岔参数是唯一的，并且当解的参数无穷大时，它收敛于奇异解我能够做到。