表面拡散方程式によって時間発展する曲線・曲面の形状と特異性の解析

使用表面扩散方程分析随时间演变的曲线和曲面的形状和奇异性

基本信息

批准号：
19K03562
负责人：
高坂良史
金额：
$ 2.66万
依托单位：
Kobe University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

Willmore汎関数に2次元の場合は長さ汎関数、3次元の場合は表面積汎関数の定数倍を加えたエネルギー汎関数の勾配流について閾値型近似アルゴリズムの研究を行なった。この勾配流に関しては、4階拡散方程式に空間変数に関するラプラシアンを加えた線形4階放物型偏微分方程式の基本解の漸近展開をもとに閾値型近似アルゴリズムを形式的には構成できる。本年度は2次元のWillmore流の場合に、この近似アルゴリズムによって実際にWillmore流による曲線の運動が数値計算できることを、榊原航也氏(岡山理科大学->金沢大学)と共に確認した。この数値計算では4階拡散方程式の数値解をFourier級数をもとに構成したが、空間方向の格子幅と時間方向の格子幅の取り方により、初期曲線の形状によっては数値計算が安定しない場合があることが分かった。現在は4階拡散方程式の数値解を陰解法で求めた場合に空間方向の格子幅と時間方向の格子幅の取り方によらず数値計算が安定するかを検討中である。また、石井克幸氏(神戸大学)、三宅庸仁氏(東京大学)と共に、近似解の収束先となる適切なWillmore流の広義解の構成についてOtto等の論文をもとに検討した。その結果、4階拡散方程式の積分核のトレースの漸近展開から近似エネルギー汎関数を導出し、その汎関数をもとに変分的時間離散近似から得られる広義解を考えることで、収束性が示される可能性があることが分かった。今後はこのアイデアをもとに近似解の収束先となる適切なWillmore流の広義解の構成及びその広義解への収束証明を試みる予定である。

我们研究了能量泛函梯度流的阈值近似算法，该算法是威尔莫尔泛函加上常数乘以二维长度泛函和三维表面积泛函。对于这种梯度流，可以基于线性四阶抛物型偏微分方程基本解的渐近展开来形式化地构造阈值型逼近算法，该方程是四阶扩散方程加上与空间变量相关的拉普拉斯算子。今年，我们与Koya Sakakibara先生（冈山理科大学 -> 金泽大学）确认，在二维威尔莫尔流的情况下，这种近似算法实际上可以数值计算由于威尔莫尔流引起的曲线运动。本次数值计算中，基于傅里叶级数构建了四阶扩散方程的数值解，但由于空间方向网格宽度和时间方向网格宽度的取法，导致数值计算可能会出现误差。不稳定取决于初始曲线的形状。事实证明是存在的。我们目前正在研究当使用隐式方法获得数值解时，无论空间方向上的网格宽度和时间方向上的网格宽度如何，四阶扩散方程的数值解是否稳定。此外，我们与 Katsuyuki Ishii 先生（神户大学）和 Tsunehito Miyake 先生（东京大学）一起研究了适当的 Willmore 式广义解的构造，该解是近似解的收敛目标，基于奥托等人的论文。因此，通过从四阶扩散方程积分核迹的渐近展开推导出近似能量泛函，并考虑基于该泛函从变分时间离散近似获得的广义解，可以收敛原来是可以显示的。未来，基于这个思想，我们将尝试构造一个适当的Willmore式广义解，使近似解收敛到该广义解，并证明对该广义解的收敛性。