微分方程式と摂動問題

微分方程和摄动问题

基本信息

批准号：
03640118
负责人：
高木泉
金额：
--
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1991
资助国家：
日本
起止时间：
1991 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

(A)典型的な特異摂動問題として、巾型非線型項を持つある半線型楕円型偏微分方程式のノイマン問題を考察した。この方程式は発生生物学の形態形成をモデル化した反応拡散方程式系の定常問題を研究する上で本質的な役割を果たす、Niを高木の共同研究では、拡散係数が十分小さいときの解の形状を領域の境界の幾何学的量と関連づけて表現することに成功した。得られた結果は以下のとおり:まず、非線型項がソボレフの埋蔵定理から決まる臨界増大度よりも小さい場合には、(1)解のうちで最もエネルギ-が小さいものは拡散係数が十分小さいときはつねにただひとつの極大値を持ち、従ってそれは最大値であるが、領域の境界上のただ一点で達成される。更に(2)最小エネルギ-解が最大値をとる点における境界の平均曲率は、拡散係数が0に近づくとき、境界の平均曲率の最大値に近づく、また、非線型項が臨界増大度に等しいときについて、(1)が成立することを示した。(B)特異性を持った解の近傍における解の挙動の研究として、藤家は有理函数を初期値とするコ-シ-問題の解の特異性を調べた、フックス型作用素の場合、あり種の二階の作用素については解の特異性が知られていたが、これを高階の作用素に拡張した。また、堀畑は微分幾何学における調和写像に付随した非線型の放物型偏微分方程式系の部分的正則性を調べるために時間の差分化を工夫し、差分解をある汎函数の最小値函数として構成することに成功した。(C)解集合の構造と特異点との関係の研究として、伊藤は解析的なハミルトン系の平衡点の近傍において系が完全積分可能系であることと解析的な正準変換でハミルトン函数をバ-コフ標準型に写すものが存在することとがある条件では同値であることを示した。

(A) 作为典型的奇异摄动问题，我们考虑带有宽度型非线性项的半线性椭圆偏微分方程的诺依曼问题。该方程在研究模拟发育生物学形态发生的反应扩散方程系统中的稳态问题中发挥着重要作用，我们成功地用区域边界的几何量来表达这一方程。得到的结果如下：第一，如果非线性项小于索博列夫埋藏定理确定的临界增量，则 (1) 能量最小的解具有足够小的扩散系数时间总是只有一个局部最大值，因此它是一个最大值，但它仅在域边界上的一个点上实现。此外，(2)最小能量——解取最大值处的边界平均曲率接近扩散系数接近0时边界平均曲率的最大值，非线性项等于我们证明了（1）对于何时成立。 (B) 作为对具有奇异性的解附近的解的行为的研究，Fujiie 研究了初始值为有理函数的 Kossie 问题的解的奇异性。解的奇异性对于二阶算子是已知的。，但这已扩展到高阶运算符。此外，Horihata 设计了时间差微分，以研究与微分几何中的调和映射相关的非线性抛物型偏微分方程组的部分正则性，我成功地将其配置为。 (C) 作为对解集结构与奇点之间关系的研究，伊藤发现，在解析哈密顿系统的平衡点附近，该系统是一个完全可积系统，并且哈密顿函数可以用解析正则函数来表示事实证明，映射到巴科夫标准形式的事物在某些条件下是等价的。