変分法とその反応拡散方程式系への応用

变分法及其在反应扩散方程组中的应用

• 批准号: 08640154
• 负责人: 高木 泉
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08640154/
• 关键词: 反応拡散系; 変分法; 活性因子-抑制因子系; 安定性; 集中現象; 極小曲面

本研究では主として単独の半線型楕円型偏微分方程式に対する境界値問題を変分法の観点から考察し,それを反応拡散方程式系の定常解の構成及びその安定性の判定に応用した.まず,双安定な非線形項をもつ半線型楕円型方程式に対するディリクレ問題の解で境界層を持たないものを求めた.このような解はエネルギー汎函数の鞍点となるため,峠の題を用いて解の存在を示した.反応拡散系への応用と云う観点からは解の構造についての詳しい情報を導いておく必要がある.特に拡散係数が十分小さい場合に,解の漸近挙動に関して次のような結果を得た.峠の補題によって与えられる解はただ一点で極大になり,(従って,それは最大値である)この最大値を実現する点は,拡散係数が0に近づくとき,境界からの距離が最大になる点に近づく,また,このことを証明する際の副産物として解の漸近形が得られた.一方,単安定な非線型項をもつ半線型楕円型方程式に対するノイマン問題の解は活性因子-抑制因子型の反応拡散系の点凝集定常解を構成する際に本質的な役割を果たす.空間次元1の場合に単独方程式の解の不安定次元を計算し,そのことの帰結として,抑制因子の拡散が十分早い場合,区間内部に凝集するような定常解は不安定であることを明らかにした.(以上は、ウェイミンニィ、柳田英二及びジュンチェンウェイ氏の研究協力により明らかになった。)研究分担者は様々な変分問題と安定性の判定のために必要な線型化作用素を研究した.増田久弥は微分幾何学に現れる変分問題を取り上げ劔持勝衛と共同して複素2次元射影空間の定ガウス曲率の最小曲面を完全に分類した.また,佐藤得志は非線型楕円型方程式の特異性をもった解の集合の大域的構造を研究した.

本研究主要从变分法的角度考虑单一半线性椭圆偏微分方程的边值问题，并将其应用于反应扩散方程组稳态解的构造及其确定稳定性。一、双稳态非线性我们找到了具有不具有边界层的形状项的半线性椭圆方程的狄利克雷问题的解，由于这样的解成为能量泛函的鞍点，因此我们使用图格问题来证明解的存在性。至反应扩散系统从应用的角度来看，有必要导出有关解的结构的详细信息。特别是，当扩散系数足够小时，我们得到了有关解的渐近行为的以下结果。由 Toge 引理给出，解决办法就是它在某一点达到最大值（因此，它是最大值），并且达到这个最大值的点接近扩散系数接近0时距边界距离最大的点，并证明这一点作为副产品的另一方面，具有单稳态非线性项的半线性椭圆方程的诺依曼问题的解本质上是在空间维度为1的情况下，我们计算单个方程解的不稳定维度，结果是如果抑制器的扩散足够快，在区间内聚集的稳定解是不稳定的（上式是稳定的。这是通过 Minnie、Eiji Yanagita 和 Jun Chengwei 的研究合作实现的。）共同研究人员研究了确定稳定性所需的各种变分问题和线性化算子。增田久哉在学校学习了微分几何。他与 Katsue Tsurugi 合作，对复杂二维射影空间中恒定高斯曲率的最小曲面进行了完整分类。此外，Tokushi Sato 还研究了非线性椭圆方程的一组奇异解。