特異ポテンシャルにおけるハミルトン系に対する変分的研究

奇异势哈密顿系统的变分研究

基本信息

批准号：
15740112
负责人：
足達慎二
金额：
$ 2.05万
依托单位：
Shizuoka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15740112/
关键词：
変分法ハミルトン系 deformation flow 特異ハミルトン系

项目摘要

特異ポテンシャルにおけるハミルトン系に対する変分的アプローチとしては,エネルギー保存量Hを与えて周期軌道の存在を示すprescribed energy problemと周期Tを与えて周期軌道の存在を示すprescribed period problemの2つに大別される。どちらの問題も対応する汎関数の臨界点として周期軌道を得ることができるが、特異ポテンシャルゆえのPalais-Smale条件の破れや汎関数レベルが0の臨界点(定数解)と物理的に意味のある非定数周期解との区別など,克服すべき難点は類似している。また,汎関数に変分的理論を適応させて問題を議論する際に周期Tと周期nTの軌道が異なる汎関数レベルの臨界点として得られてしまうので,この点が周期軌道の多重性を示すことを格段に難しくしている。本年度はprescribed energy problemに関しては原点を中心とした星形領域の特異点集合をもつポテンシャルに対して,非定数周期解が存在しないエネルギー保存量の十分条件を得た。prescribed period problemでは特異点集合が1点のみの場合ではなく一般のコンパクト集合をなす場合について任意の周期T>0に対して周期軌道の存在を示し論文にまとめた。特異点集合の測度を0に近づけたときの周期軌道の漸近挙動については部分的に解明したこともあるが,全体像はまだつかめず今後の継続課題としたい。また,周期軌道の多重性やハミルトン系での変分的手法の他の非線形問題への応用なども今後研究していきたい。

奇异势哈密顿系统的变分方法可以大致分为两类：规定能量问题，通过给出能量守恒量 H 来证明周期轨道的存在性；以及规定周期问题，通过给出能量守恒量 H 来证明周期轨道的存在性。轨道通过给定一个周期 T. 来完成。在这两个问题中，都可以得到周期轨道作为相应泛函的临界点，但由于奇异势而违反了Palais-Smale条件，并且泛函级别为0（常解）的临界点没有物理意义需要克服的困难，例如与某些非常数周期解的微分，都是类似的。另外，在泛函中应用变分理论讨论问题时，会得到周期为T和周期为nT的轨道作为不同泛函级别的临界点，因此这一点表现出周期轨道的重数性，这使得证明变得更加困难。今年，关于规定的能量问题，我们得到了能量守恒的充分条件，其中对于以原点为中心的星形区域中具有奇点的势，不存在非恒定周期解。在规定周期问题中，我们证明了任何周期T>0都存在周期轨道，并在论文中进行了总结，不仅当奇点集是单点时，而且当它形成一般紧集时。尽管我们已经部分阐明了当奇点集的测度接近0时周期轨道的渐近行为，但我们还没有掌握整体情况，并希望在未来继续这项工作。我还想研究周期轨道的多重性以及哈密顿系统中变分方法在其他非线性问题中的应用。