特異ポテンシャルにおけるハミルトン系に対する変分的研究

奇异势哈密顿系统的变分研究

基本信息

批准号：
15740112
负责人：
足達慎二
金额：
$ 2.05万
依托单位：
Shizuoka University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15740112/
关键词：
変分法ハミルトン系 deformation flow 特異ハミルトン系

项目摘要

特異ポテンシャルにおけるハミルトン系に対する変分的アプローチとしては,エネルギー保存量Hを与えて周期軌道の存在を示すprescribed energy problemと周期Tを与えて周期軌道の存在を示すprescribed period problemの2つに大別される。どちらの問題も対応する汎関数の臨界点として周期軌道を得ることができるが、特異ポテンシャルゆえのPalais-Smale条件の破れや汎関数レベルが0の臨界点(定数解)と物理的に意味のある非定数周期解との区別など,克服すべき難点は類似している。また,汎関数に変分的理論を適応させて問題を議論する際に周期Tと周期nTの軌道が異なる汎関数レベルの臨界点として得られてしまうので,この点が周期軌道の多重性を示すことを格段に難しくしている。本年度はprescribed energy problemに関しては原点を中心とした星形領域の特異点集合をもつポテンシャルに対して,非定数周期解が存在しないエネルギー保存量の十分条件を得た。prescribed period problemでは特異点集合が1点のみの場合ではなく一般のコンパクト集合をなす場合について任意の周期T>0に対して周期軌道の存在を示し論文にまとめた。特異点集合の測度を0に近づけたときの周期軌道の漸近挙動については部分的に解明したこともあるが,全体像はまだつかめず今後の継続課題としたい。また,周期軌道の多重性やハミルトン系での変分的手法の他の非線形問題への応用なども今後研究していきたい。

在奇异潜力中使用一种奇异系统的变异方法可以大致分为两种类型：一个规定的能量问题，通过给出能量保守的h和一个定期的期间问题，表明周期性的轨道存在周期性的轨道，并通过定期t表示周期性的范围。由于奇异的电位并区分了功能水平为0和物理意义上有意义的恒定时期解决方案，因此由于单数电势并区分临界点（恒定溶液）引起的宫殿条件。此外，当将变异理论适应功能并讨论问题时，周期t和周期nt的轨道在功能级别的临界点上获得，这使得很难显示出多种周期性轨道。在今年，对于规定的能源问题，获得了足够的条件，即节能量没有非典型的周期性解决方案，即具有围绕围绕原点的奇异性恒星区域的电势。在规定的时期问题中，在任何周期t> 0中存在周期性轨道的存在，在不仅有一个单一点集的情况下，而且是一般紧凑的集合，而纸张总结了它。当奇异性集的度量更接近零时，我们已经部分阐明了周期性轨道的渐近行为，但是我们仍然无法完整地了解，并希望将来继续这一问题。我们还想研究周期性轨道的多样性以及汉密尔顿系统中各种方法在其他非线性问题中的应用。