無限次元空間上の確率解析

无限维空间的随机分析

基本信息

批准号：
13740095
负责人：
日野正訓
金额：
$ 1.28万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2002
项目状态：
已结题

项目摘要

今年度の研究実績は以下の通りである.コンパクトハウスドルフ空間上の最大値ノルムに関する連続線形汎関数は,ある符号付き測度に関する積分の形で表される(リースの表現定理).これは確率論において重要な応用を持つ基本定理である.福島正俊は1999年にこれに類似した結果として,準正則ディリクレ形式が与えられた時,ディリクレノルムに関する連続線形汎関数が(一般化された)符号付きスムーズ測度の積分で表されるための必要十分条件を与えた.これによりディリクレ形式とそのスムーズ測度に関する多くの新しい結果が従う.本研究者はこの結果を更に一般化し,適当な条件を満たすノルム付き関数空間に対して福島の結果と同様の主張が成立することを証明した.この設定を満足する関数空間の具体例としては,準正則ディリクレ形式の定義域空間のほか,可分バナッハ空間上のグラディエント作用素から定まる可積分指数P(>1)の1階のソボレフ空間や,それとL^P空間を実補間した空間などが挙げられる.この結果を用いて,抽象ウィーナー空間上で定義されるBV関数について,その一般化されたグラディエントに対応するベクトル値測度の滑らかさに関して従来の結果を改良した.またBV関数についての解析を進め,実補間の理論を援用することによりBV関数全体の空間と非整数階ソボレフ空間との関係を確立した.これにより非整数階ソボレフ空間に関連する幾つかの研究を統合的な立場から捉える道が開かれたといえる.以上の結果について論文を執筆し,現在投稿中である.

今年的研究成果如下。紧致豪斯多夫空间上关于最大范数的连续线性泛函可以用关于某个带符号测度的积分的形式来表示（里斯表示定理）。 Masatoshi Fukushima在1999年发现了类似的结果，当给定拟正则狄利克雷形式时，狄利克雷范数为我们给出了将连续线性函数表示为（广义）有符号平滑测度的积分的充分必要条件。这给出了关于狄利克雷形式及其平滑测度的许多新结果。该研究人员进一步推广了这一结果并证明了与福岛结果相同的论点也适用于满足适当条件的规范函数空间。数空间的具体例子包括拟正则狄利克雷形式的域空间、由可整除巴纳赫空间上的梯度算子确定的可积索引 P(>1) 的一阶 Sobolev 空间以及 L^P 空间，我们可以使用该结果进行计算。对应于抽象维纳空间上定义的 BV 函数的广义梯度的向量。我们对BV函数平滑性方面的结果进行了改进。我们还对BV函数进行了分析，并应用实数插值理论建立了整个BV函数的空间与分数阶Sobolev空间之间的关系。这可以说为从综合的角度处理与非整数阶Sobolev空间相关的几项研究铺平了道路。我已经就上述结果写了一篇论文，目前正在提交。