3次元多様体上の幾何構造とその変形

3 维流形上的几何结构及其变形

• 批准号: 13740038
• 负责人: 藤井 道彦
• 金额: $ 1.34万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13740038/
• 关键词: 双曲多様体; 錐多様体; 幾何構造の変形; 調和ベクトル場; 確定特異点; 常微分方程式; 超幾何函数; 合流

本研究では、特異点集合Σが単純閉曲線S^1と同相となる成分のみをもつ、3次元双曲錐多様体Mの変形を解析することを目的としている。特に錐角αを微小に変えるようなMの微小変形を具体的に記述することをめざしている。そこで、そのようなMの微小変形を記述する際に鍵となる特異点集合の近傍における調和ベクトル場の具体的記述が求められる。今年度の研究では、錐角αが無限大に発散する場合の調和ベクトル場の退化の様子を詳しく解析し、退化した場合の調和ベクトル場のGaussの超幾何函数による表示を得ることができた。また、錐角αが0に収束する場合に、調和ベクトル場の方程式に対応するFuchs型の常微分方程式の解析をすることによって、双曲錐多様体からカスプをもつ多様体をつくり出すという操作がFuchs型の常微分方程式の確定特異点の合流操作と相当するという事実も発見した。また、このような調和ベクトル場のGaussの超幾何函数による表示は、ある6階の常微分方程式の微分作用素をRiemannのP-微分方程式の微分作用素を用いて表わすことによって得られる。この方法を一般の3点0、1、∞を確定特異点とするFuchs型の高階の常微分方程式にも適用できるように開発した。その解法のアルゴリズムは学術雑誌に掲載されることに決まった。

这项研究旨在分析三维双曲锥歧管M的变形，其中奇异性集σ在相相时，仅与简单的封闭曲线S^1相相位。特别是，我们旨在专门描述M的显微局限性，将金字塔角α变成小块。因此，需要对奇点集附近的谐波矢量场的具体描述，这是描述M的这种较小变换时的关键。今年的研究已详细进行，以分析金字塔角α与无穷大分散时的谐波矢量场的退化，并在使用高斯的超几何功能退化时，能够获得谐波矢量场的表示。我们还发现，当金字塔角α收敛到零时，通过分析Fuchs类型的正常微分方程与谐波矢量场的方程进行分析，从双曲线锥歧管创建歧管的操作，与谐波矢量场的方程相对应，对应于Fuchuchs类型型平等方程的定性旋转性的转化性操作。此外，可以使用Riemann p分差方程的差分运算符来表达特定第六阶普通微分方程的差分运算符来获得此类谐波矢量场的高几何函数表示。该方法开发为适用于Fuchs型高阶普通微分方程，将一般三个点0、1和∞作为确定点。该解决方案的算法决定在学术期刊上发表。

项目成果

M.Fujii: "An algorithm for solving linear ordinary differential equations of Fuchsian type with three singular points"Interdisciplinary Information Sciences. 9・1(未定). (2003)

M.Fujii：“求解具有三个奇异点的 Fuchsian 型线性常微分方程的算法”跨学科信息科学 9・1（待定）。

M.Fujii: "On Strong convergence of hyperbolic 3-cone-manifolds whose singular sets have uniformly thick tabular neighborhoods"Journal of Mathematics of Kyoto University. 41・2. 421-428 (2001)

M.Fujii：“关于具有均匀厚表格邻域的双曲3锥流形的强收敛性”京都大学数学杂志41・2（2001）。