Geometry of the braid groups and mapping class groups and their growth

辫子组的几何形状和映射类组及其增长

• 批准号: 18K03283
• 负责人: 藤井 道彦
• 金额: $ 2.66万
• 依托单位: University of the Ryukyus
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2018
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2018-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-18K03283/
• 关键词: 離散群; 増大級数; ブレイド群; 随伴群; ケーリーグラフ; ザイフェルトファイバー空間; ガ―サイド標準形; ザイフェルト・ファイバー空間; 測地的代表元; ガーサイド標準形; スータブル・スプレッド法; 写像類群; 増大度

本研究の目的の一つに、離散群 Γ に対して、ケーリーグラフ内の測地線を見つけるアルゴリズム P を構築することによって、Γの増大級数の具体的な有理関数表示を求め、さらに増大度も求めることを掲げている。令和４年度において、研究代表者・藤井と分担者・佐藤隆夫は、Γ が４本の糸から成るブレイド群の場合に、 Γの元 g の標準的な代表元（g のガーサイド標準形という）からスータブル・スプレッド法を用いて得られる元が測地的にならない不規則な現象の探究を継続した。ガーサイド標準形上に基本的元 Δ の逆元が２個現れる場合に限定して、詳細にその不規則な現象の考察を行った。ガーサイド標準形上の正モノイドの部分のスクエア・フリー元への分割の状況に応じて生じる不規則な現象のパターンをある程度は分類することに成功した。ただ、精密に分類するには困難が生じるとの予測ができた。そこで、ブレイド群よりも扱いが単純である上にブレイド群自体の構造解明に役立つと見込まれる、ブレイド群に付随する随伴群Γ'に注目して、その測地的元の研究に着手した。令和５年度には、随伴群Γ’に対してアルゴリズム P の構築が出来るよう計画している。また、令和３年度には、３本の特異点を持つザイフェルト・ファイバー空間の基本群Λの増大級数の計算が可能であることを示した。令和４年度は、この計算を具体的に実装するコンピューター・プログラムを分担者・逆井と共同で作成することに成功した。令和５年度には、このコンピューター・プログラムによる計算結果をもとにして、群Λの増大級数の複素解析的な性質の研究を進めていくよう計画している。その複素解析的な側面からの研究が群Λの幾何学的な構造の研究にも役立つと期待される。

本研究的目的之一是通过构造一个算法P来寻找离散群 Γ 的凯莱图中的测地曲线，从而获得 Γ 递增级数的具体有理函数表示，并计算递增程度。它说明了你想要什么。 2020财年，首席研究员藤井和合著者佐藤隆夫研究了 Г 的元素 g 的标准代表元素（当 Г 是由四根线组成的辫子群时，称为 g 的 Garside 标准形式），我们继续探索不规则现象。其中使用适当的展开方法获得的元素不是测地线。我们详细考虑了仅限于基本元素 Δ 的两个逆元素出现在 Garside 标准形式上的情况的不规则现象。我们在某种程度上成功地将不规则现象的模式进行了分类，这些现象的发生取决于将加赛德标准形式上的规则幺半群部分划分为正方形自由元素。然而，据预测，准确分类将很困难。因此，我们将注意力集中在叶片组所附的伴随群Γ'上，它比叶片组更容易处理，并且有望有助于阐明叶片组本身的结构，并开始对其大地测量单元进行研究。到 2025 年，我们计划能够为伴随群 Γ' 构建算法 P。此外，在 2021 年，我们证明可以计算具有三个奇点的 Seifert 纤维空间的基本群 Λ 的递增级数。 2020 年，我们与同事 Sakai 成功联合创建了专门实现此计算的计算机程序。 2020年度，我们计划根据该计算机程序的计算结果，继续研究Λ群增级数的复解析性质。预计复分析方面的研究也将有助于研究Λ群的几何结构。

项目成果

A new formula for the spherical growth series of an amalgamated free product of two infinite cyclic groups

两个无限循环群合并自由积的球形增长级数的新公式

• 发表时间: 2018
• 期刊: Kodai Mathematical Journal
• 影响因子: 0.6
• 作者: O. Baues;Y. Kamishima;Michihiko Fujii
• 通讯作者: Michihiko Fujii