Mordell-Weil latticeに関する研究

莫德尔-韦尔格子的研究

基本信息

批准号：
01J06727
负责人：
西山賢一
金额：
$ 2.3万
依托单位：
Saitama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2003
项目状态：
已结题

项目摘要

最近、K3曲面上の楕円構造は、Mordell-Weil群が有限なものに関しては島田氏によって全て分類された。またこれにより、Mordell-Weil群のtorsion partも分類されたので、楕円構造の格子としての特異fibreの型も全て分類された。しかし、Mordell-Weil群のランクが正のものについては、まだあまり分かっていない。そこでまず、ランクrと、特異K3曲面Xのtranscendental格子T_Xの行列式との関係を考えた。今、X^(r)を、Mordell-Weil群のランクがrの楕円構造をもつ特異K3曲面とする。Mordell-Weil群が有限(すなわちr=0)のときは、島田、Zhang両氏の分類によって、3【less than or equal】det T_<X^<(0)>>【less than or equal】3600だと分かる。そこで、ランクが正のものについて考えた。私は、r>0を固定したとき、Mordell-Weil群のランクがrの楕円構造を持つ特異K3曲面X^<(r)>を、無限個見つけだした。これは、ある特殊なK3曲面YのPicard格子S_Yを考えることにより求められた。これにより、T_<X^<(r)>>の行列式は、最大値を持たないことが分かった。そこで、T_<X^<(r)>>の行列式の最小値をdT(r)として、それを求めることを考えた。今までに、求めることができたのは、r=1,2のときである、その値はそれぞれ、dT(1)=3、dT(2)=7になった。その他の場合(3【less than or equal】r【less than or equal】18)についても、dT(r)【greater than or equal】11であることが分かった。また、特に、dT(3)=11or12、dT(4)=11,15or16、11【less than or equal】dT(5)【less than or equal】36だということまで分かった。上のS_Yを使った方法を、他の同様な性質をもつK3曲面ZのPicard格子S_Zについても試してみた。しかし、r=18の場合を除いて、ある条件を満たしていることを示すことができなかった。r=18の場合、前のS_Yを使った方法ではdT(18)【less than or equal】2480までしか示せないが、S_Zを使えばdT(18)【less than or equal】399を示せていた。よって、このことが示せればdT(r)についてよりよい結果がでると思われる。

最近，Shimada已将K3表面上的所有椭圆结构分类为有限的Mordell-Weil组。这也将Mordell-Weil组的扭转部分归类，因此所有奇异纤维类型也被分类为椭圆结构的晶格。但是，对于Mordell-Weil组的积极等级，仍然不知道。首先，我们考虑了单数K3表面X的等级r和确定晶格T_x之间的关系。现在，让x^（r）为具有椭圆形结构的单数K3表面，在mordell-weil群中具有R等级。当Mordell-Weil组是有限的（即r = 0）时，可以看出Shimada和Zhang的分类为3,600。所以我想到了一个积极的等级。当我固定r> 0时，我发现了一个无限数量的单数k3表面x^<（r）>，其椭圆形结构是mordell-weil组排名r的。这是通过考虑特殊K3表面Y的Picard晶格S_Y来确定的。这表明T_ <X^<（r）>>的决定因素没有最大值。因此，我们考虑找到T_ <x^<（r）>>的最小决定因素为dt（r）。到目前为止，我们能够找到r = 1和2，它们的值分别为dt（1）= 3和dt（2）= 7。在其他情况下（3 [少于或相等] r [小于或相等] 18），也发现它是dt（r）[大于或相等] 11。 Z，具有其他相似属性。但是，除了r = 18的情况外，不可能表明满足某些条件。对于r = 18，使用S_Y的先前方法只能显示为DT（18）[小于或相等] 2480，但是使用S_Z可以显示到DT（18）[小于或等于] 399。