Mordell-Weil latticeに関する研究

莫德尔-韦尔格子的研究

基本信息

批准号：
01J06727
负责人：
西山賢一
金额：
$ 2.3万
依托单位：
Saitama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2001
资助国家：
日本
起止时间：
2001 至 2003
项目状态：
已结题

项目摘要

最近、K3曲面上の楕円構造は、Mordell-Weil群が有限なものに関しては島田氏によって全て分類された。またこれにより、Mordell-Weil群のtorsion partも分類されたので、楕円構造の格子としての特異fibreの型も全て分類された。しかし、Mordell-Weil群のランクが正のものについては、まだあまり分かっていない。そこでまず、ランクrと、特異K3曲面Xのtranscendental格子T_Xの行列式との関係を考えた。今、X^(r)を、Mordell-Weil群のランクがrの楕円構造をもつ特異K3曲面とする。Mordell-Weil群が有限(すなわちr=0)のときは、島田、Zhang両氏の分類によって、3【less than or equal】det T_<X^<(0)>>【less than or equal】3600だと分かる。そこで、ランクが正のものについて考えた。私は、r>0を固定したとき、Mordell-Weil群のランクがrの楕円構造を持つ特異K3曲面X^<(r)>を、無限個見つけだした。これは、ある特殊なK3曲面YのPicard格子S_Yを考えることにより求められた。これにより、T_<X^<(r)>>の行列式は、最大値を持たないことが分かった。そこで、T_<X^<(r)>>の行列式の最小値をdT(r)として、それを求めることを考えた。今までに、求めることができたのは、r=1,2のときである、その値はそれぞれ、dT(1)=3、dT(2)=7になった。その他の場合(3【less than or equal】r【less than or equal】18)についても、dT(r)【greater than or equal】11であることが分かった。また、特に、dT(3)=11or12、dT(4)=11,15or16、11【less than or equal】dT(5)【less than or equal】36だということまで分かった。上のS_Yを使った方法を、他の同様な性質をもつK3曲面ZのPicard格子S_Zについても試してみた。しかし、r=18の場合を除いて、ある条件を満たしていることを示すことができなかった。r=18の場合、前のS_Yを使った方法ではdT(18)【less than or equal】2480までしか示せないが、S_Zを使えばdT(18)【less than or equal】399を示せていた。よって、このことが示せればdT(r)についてよりよい結果がでると思われる。

最近，Shimada 先生对所有具有有限 Mordell-Weil 群的 K3 表面上的椭圆结构进行了分类。此外，由于Mordell-Weil群的扭转部分也被分类，因此作为椭圆结构晶格的所有类型的奇异纤维也被分类。然而，人们对 Mordell-Weil 组的积极排名知之甚少。首先，我们考虑奇异K3面X的瞬态晶格T_X的行列式与秩r之间的关系。现在，令 X^(r) 为 Mordell-Weil 群中具有 r 阶椭圆结构的奇异 K3 曲面。当Mordell-Weil群有限时（即r=0），根据Shimada和Zhang的分类，3[小于或等于] det T_<X^<(0)>>[小于或等于] 3600。我明白。所以，我想到了一些具有积极排名的东西。当r>0固定时，我在Mordell-Weil群中发现了无数个具有r阶椭圆结构的奇异K3曲面X^<(r)>。这是通过考虑特殊 K3 表面 Y 的皮卡德晶格 S_Y 获得的。这表明 T_<X^<(r)>> 的行列式没有最大值。因此，我们考虑寻找T_<X^<(r)>>行列式的最小值作为dT(r)。至此，我们已经能够求出r=1和2时的值，分别为dT(1)=3和dT(2)=7。在其他情况下（3 [小于或等于] r [小于或等于] 18），发现 dT(r) [大于或等于] 11。特别是，我发现dT(3)=11or12，dT(4)=11,15or16，11【小于等于】dT(5)【小于等于】36。我还在具有类似属性的 K3 表面 Z 的另一个皮卡德晶格 S_Z 上使用 S_Y 尝试了上述方法。然而，除了r=18的情况外，无法证明满足某些条件。在r=18的情况下，之前使用S_Y的方法只能显示dT(18)[小于或等于]2480，但使用S_Z可以显示dT(18)[小于或等于]399。因此，如果能够证明这一点，则 dT(r) 将会获得更好的结果。