多変数保型関数の数論幾何的研究とそのPicard数極大曲面への応用

多元自守函数的算术几何研究及其在皮卡德数极大曲面中的应用

• 批准号: 21K13779
• 负责人: 平川 義之輔
• 金额: $ 2.16万
• 依托单位: Tokyo University of Science
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K13779/
• 关键词: Picard数; Fermat型曲面; Klein型曲面; イデアル格子; Picard数極大曲面; 多変数保型関数; 周期; 志村多様体; 超幾何曲線; Mordell-Weil群; イデアル類群

本年度は、主に、「Picard数の大きな」非特異n次曲面の数論幾何学的な研究を進めた。これは、当初の目標であった「Picard数極大」曲面の構成からはやや逸れるものの、複数の共同研究においてその方面の進展があり、良い意味で予想外の計画変更が生じた結果である。まず、後藤有輝氏 (慶應義塾大・理研)、関川隆太郎氏 (東京理科大)、根本裕介氏 (千葉大) との共同研究において、Fermat型超曲面とKlein型超曲面のモチーフの間に興味深い類似を観測した。こうしたモチーフの類似を確立することで、Picard数 (Hodge構造の不変量) の一致に留まらず、様々な代数幾何学的・数論幾何学的な不変量の一致を同時に導くことができるため、非常に興味深い。また、金村佳範氏 (慶應義塾大) との共同研究において、Fermat型曲面上の東屋代数の具体的構成とその有理点問題への応用を行なった。この方面の研究は、Fermat4次曲面に対しては豊富であるが、高次の場合には明示的な文献がほとんどないため、当該研究が完成した暁には当該分野に大きく貢献することが期待される。一方、虚数乗法論において重要な役割を果たす代数体のイデアル格子に関しても、新しい知見を得た。この成果は、「プロジェクト研究集会2022 (佐久平)」にて発表した。これをもとに、数論的に興味深い性質を有する多変数保型形式の新しい構成を視野に入れて、比嘉陸氏 (東京理科大) と共同研究を始めた。また、昨年度に臺信直人氏 (慶應義塾大) と松村英樹氏 (慶應義塾大) の両氏との共同研究で得られた内容を論文としてまとめ、プレプリントサーバーに公開した。現在でも本共同研究は継続中であり、当該論文の成果をさらに拡張した論文を準備中である。そのほかにも複数の共同研究が順調に進展した。

今年我们主要研究的是“大皮卡数”非奇异n维曲面的算术几何。虽然这与构建“最大皮卡德数”曲面的最初目标略有偏差，但通过多个联合研究项目，已经在这个方向上取得了进展，这是计划意外改变的结果，从积极的意义上来说。首先，在与 Yuki Goto（庆应义塾大学、RIKEN）、Ryutaro Sekikawa（东京理科大学）和 Yusuke Nemoto（千叶大学）的联合研究中，我们发现费马型超曲面和 Klein 型超曲面的基序之间存在差异。类型超曲面观察到了有趣的相似性。通过建立这些模体的相似性，我们不仅可以匹配皮卡德数（霍奇结构的不变量），还可以同时匹配各种代数几何和算术几何不变量，非常有趣。此外，在与Yoshinori Kanemura（庆应义塾大学）的联合研究中，我们构建了费马型曲面上Azumaya代数的具体结构，并将其应用于有理点问题。尽管费马四次曲面在这个方向上有大量的研究，但几乎没有关于高阶情况的明确文献，因此预计一旦这项研究完成，它将对该领域做出重大贡献。 。另一方面，关于代数场的理想格也得到了新的发现，它在虚数乘法理论中发挥着重要作用。结果在“2022年项目研究会议（佐久平）”上公布。基于此，我们开始与 Riku Higa（东京理科大学）进行联合研究，着眼于在数论中具有有趣特性的多元自守形式的新构造。此外，我们去年还根据与台新直人（庆应义塾大学）和松村英树（庆应义塾大学）共同研究的成果，编写了一篇论文，并在预印本服务器上发布。这项联合研究仍在进行中，目前正在准备进一步扩展该论文结果的论文。其他几个联合研究项目也取得了良好进展。

项目成果

A note on trace forms of type A_n, D_n, E_n for odd n

关于奇数 n 的 A_n、D_n、E_n 类型的迹线形式的注释

• 发表时间: 2023
• 作者: Itaba Ayako;Mori Izuru;板場綾子;Ayako Itaba;板場綾子;板場綾子;平川義之輔
• 通讯作者: 平川義之輔