多変数保型関数の数論幾何的研究とそのPicard数極大曲面への応用

多元自守函数的算术几何研究及其在皮卡德数极大曲面中的应用

• 批准号: 21K13779
• 负责人: 平川 義之輔
• 金额: $ 2.16万
• 依托单位: Tokyo University of Science
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2025-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K13779/
• 关键词: Picard数; Fermat型曲面; Klein型曲面; イデアル格子; Picard数極大曲面; 多変数保型関数; 周期; 志村多様体; 超幾何曲線; Mordell-Weil群; イデアル類群

本年度は、主に、「Picard数の大きな」非特異n次曲面の数論幾何学的な研究を進めた。これは、当初の目標であった「Picard数極大」曲面の構成からはやや逸れるものの、複数の共同研究においてその方面の進展があり、良い意味で予想外の計画変更が生じた結果である。まず、後藤有輝氏 (慶應義塾大・理研)、関川隆太郎氏 (東京理科大)、根本裕介氏 (千葉大) との共同研究において、Fermat型超曲面とKlein型超曲面のモチーフの間に興味深い類似を観測した。こうしたモチーフの類似を確立することで、Picard数 (Hodge構造の不変量) の一致に留まらず、様々な代数幾何学的・数論幾何学的な不変量の一致を同時に導くことができるため、非常に興味深い。また、金村佳範氏 (慶應義塾大) との共同研究において、Fermat型曲面上の東屋代数の具体的構成とその有理点問題への応用を行なった。この方面の研究は、Fermat4次曲面に対しては豊富であるが、高次の場合には明示的な文献がほとんどないため、当該研究が完成した暁には当該分野に大きく貢献することが期待される。一方、虚数乗法論において重要な役割を果たす代数体のイデアル格子に関しても、新しい知見を得た。この成果は、「プロジェクト研究集会2022 (佐久平)」にて発表した。これをもとに、数論的に興味深い性質を有する多変数保型形式の新しい構成を視野に入れて、比嘉陸氏 (東京理科大) と共同研究を始めた。また、昨年度に臺信直人氏 (慶應義塾大) と松村英樹氏 (慶應義塾大) の両氏との共同研究で得られた内容を論文としてまとめ、プレプリントサーバーに公開した。現在でも本共同研究は継続中であり、当該論文の成果をさらに拡張した論文を準備中である。そのほかにも複数の共同研究が順調に進展した。

今年，我们主要对具有“大PICARD数字”的非单位n级表面进行了数字理论几何研究。尽管这是“ Picard Maxal”表面的最初目标，但这是多项联合研究进展的结果，这在很大程度上导致了计划的意外变化。首先，在与Goto Yuuki（Keio University和Riken），Sekigawa Ryutaro（东京科学大学）和Nemoto Yusuke（Chiba University）的联合研究中，我们观察到了Fermat-Type和Klein-type Hypersersurfaces的主题之间的有趣相似之处。建立这些主题的相似性非常有趣，因为它使我们不仅可以同时得出PICARD数字的巧合（Hodge结构的不变性），还可以得出各种代数和数字理论几何不变的一致性。此外，在与Kanamura Yoshinori（Keio University）的联合研究中，在Fermat形表面上的凉亭代数的混凝土结构及其在理性点问题上的应用。对于Fermat二次表面，该领域的研究很丰富，但是在较高订单中很少有明确的文献，因此一旦研究完成，预计它将为该领域做出重大贡献。另一方面，关于代数领域的理想晶格也获得了新知识，这些田地在虚构的乘法理论中起着重要作用。结果在2022年项目研究会议（Sakuhei）上介绍。基于这一点，他开始与希加里库（东京科学大学）合作研究，其目的是一种新结构的多变量保存形式，该结构具有有趣的基于数值理论的性质。此外，去年从Tai Nobu Naoto（Keio University）和Matsumura Hideki（Keio University）之间的联合研究中获得的内容被汇编成论文，并在预印型服务器上发布。这项联合研究仍在进行中，目前正在准备进一步扩大本文结果的论文。其他几项联合研究稳步进展。

项目成果

A note on trace forms of type A_n, D_n, E_n for odd n

关于奇数 n 的 A_n、D_n、E_n 类型的迹线形式的注释

• 发表时间: 2023
• 作者: Itaba Ayako;Mori Izuru;板場綾子;Ayako Itaba;板場綾子;板場綾子;平川義之輔
• 通讯作者: 平川義之輔