リーマン面のモジュライ空間の位相の研究

黎曼曲面模空间的拓扑研究

• 批准号: 07740045
• 负责人: 河澄 響矢
• 金额: $ 0.77万
• 依托单位: Hokkaido University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07740045/
• 关键词: リーマン面; モジュライ空間; 写像類群; コホモロジー; アーベル微分

本年度は、実閉曲面の拡張された写像類群のコホモロジー、即ち写像類群の捩れ係数のコホモロジーの研究の部分で大きな進展があった。これは座標付きモジュライ空間の無限小的等質構造を用いた研究にも大きく益するが、総じて他の研究に時間を割く余裕はなかった。年度の後半は東大数理の森田茂之氏との共同研究となった。(1)一般森田・マンフォード類の構成。第3種アーベル微分の写像類群での対応物をとりだし、それの巾に相対接束のオイラー類の巾をかけてファイバー積分することによって構成した。その際大変に愚直な形であるが群の対の相対コホモロジー理論を構築した。(のちに森田氏により、相対コホモロジー理論なしに構成することが可能になった。)この一般化は森田・マンフォード類とジョンソン準同型を統合する枠組みとなっている。一般森田・マンフォード類の幾何学的意味を明らかにすることが中期的な課題である。(2)拡張された写像類群の安定コホモロジー群の計算。(1)の構成とは独立にE・ロイエンハ氏はホッジ理論などを用いた幾何学的考察とハーラー安定性定理により(境界なし)写像類群の斜交係数安定コホモロジー群を(自明係数をmoduloとして)決定した。報告者はこれにならいハーラー安定性定理を用い、ホッジ理論の代わりに群の対の相対コホモロジー理論を用いて(境界つき)写像類群の斜交係数安定コホモロジー群が、自明係数安定コホモロジー環上一般森田・マンフォード類を自由基底とする自由加群であることを示した。(3)一般森田・マンフォード類の縮約(森田氏との共同研究)。一般森田・マンフォード類は曲面のホモロジー上の交叉形式による係数の縮約に関して閉じている事が分かった。応用として森田氏がジョンソン準同型を拡張することによって構成した写像類群の安定コサイクルがすべて(もともとの)森田・マンフォード類によって表わされることが分かった。

今年，实闭曲面的扩展映射类群的上同调，即映射类群的扭转系数的上同调研究取得了重大进展。这将极大地有利于使用带坐标的模空间的无穷小齐次结构的研究，但我通常没有时间致力于其他研究。下半年，我们与东京大学数学家森田茂之进行了联合研究。 (1)一般Morita-Mumford类的构成。我们取映射类群中第三类阿贝尔微分的对应部分，并通过将其宽度乘以相对切线通量的欧拉类宽度并进行纤维积分来构造它。当时，我构建了群对的相对上同调理论，尽管形式非常幼稚。 （后来，Morita 使得在没有相对上同调理论的情况下构造它成为可能。）这种概括提供了统一 Morita-Mumford 类和 Johnson 同态的框架。中期任务是阐明一般 Morita-Mumford 级的几何意义。 (2)扩展映射类群的稳定上同调群的计算。独立于 (1) 的构造，E. Leuenha 先生使用 Hodge 理论和 Hurler 稳定性定理等几何考虑因素构造了映射类群（无边界）的倾斜系数的稳定上同调群（以平凡系数为模） ））已决定。接下来，演讲者使用 Hurler 稳定性定理，并使用群对的相对上同调理论来代替 Hodge 理论（有界），发现映射类群的斜系数稳定上同调群比平凡系数稳定上同调群具有一般性事实表明，Morita-Mumford 类是一个具有免费基础的免费模块。 (3)普通Morita-Mumford等级的缩减(与Morita先生共同研究)。发现一般的 Morita-Mumford 类对于表面同调上的交集形式的系数约简而言是封闭的。作为应用，发现Morita通过扩展Johnson同态构造的映射类群的稳定余循环都可以用（原始）Morita-Mumford类来表示。