Algebraic developments of topological studies around Riemann surfaces

黎曼曲面拓扑研究的代数发展

• 批准号: 22H01120
• 负责人: 河澄 響矢
• 金额: $ 10.82万
• 依托单位: The University of Tokyo
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22H01120/
• 关键词: リーマン面; ジョンソン準同型; ループ演算; タイヒミュラー空間; 亜群; トゥラエフ余括弧積; フェンチェル-ニールセン座標; 基本亜群; 写像類群; ねじれ係数コホモロジー; 組紐群; トレミー亜群

本研究課題の中心概念の一つである亜群について理解の整理もかねて、令和4年度後期に本務校において4年大学院向けの亜群の講義を実施した。いまのところ Ptolemy 亜群について新しい結果は得られていないが Teichmuller 空間論への応用が見つかった。パンツ曲面上の双曲構造が定める亜群コサイクルである標準コサイクルの概念を発見した。標準コサイクルはパンツの境界の測地長函数で完全に書き下すことができ、パンツ分解にともなう Fenchel-Nielsen 座標も自然に現れる。応用として、Weil-Petersson Kahler 形式を Fenchel-Nielsen 座標で表示する Wolpert の公式の位相的別証明が得られた。ループ演算については、前課題 19H01784 で共同研究者久野雄介と発見し整理を行った secondary Turaev 余括弧積の積公式の定式化を目指した。しかし、満足できる形はまだ得られていない。副産物として 2つの基点つきループのホモトピー交叉形式の secondary 演算が発見できた。共同研究者 Christine Vespa と組紐群のねじれ係数コホモロジーの計算を行った。目標とするオペラド構造の発見には至っていない。前課題 19H01784 から引き続き Arthur Soulie との共同研究で曲面の単位接束のホモロジー群およびその外積に係数をもつ写像類群のねじれ安定コホモロジー群のTor 群の計算を行った。その複雑性から5次外積が我々の限界であり、そこまで計算が終わっている。しかし、計算チェックに多大の労力と時間がかかっており、23年度にも延長されている。成果の一部はプレプリント arXiv: 2211.02793 として公開している。研究集会「葉層構造論シンポジウム」と「葉層構造の幾何学とその応用」を共催した。

为了明确本研究项目的中心概念之一——亚群的理解，我们于2020年下半年在主院为四年级研究生举办了亚群讲座。到目前为止，关于托勒密子群还没有获得新的结果，但已经发现了 Teichmuller 空间理论的应用。我们发现了标准余循环的概念，它是由 Pants 表面上的双曲结构定义的子群余循环。标准余循环可以完全由裤子边界的测地线函数写出，并且与裤子分解相关的Fenchel-Nielsen坐标也自然出现。作为应用，我们获得了 Wolpert 公式的拓扑证明，该公式在 Fenchel-Nielsen 坐标中表示 Weil-Petersson Kahler 形式。关于循环运算，我的目标是制定二次 Turaev 余括号乘积的乘积公式，该公式是我在之前的项目 19H01784 中与我的合作研究员 Yusuke Kuno 发现并组织的。然而，尚未获得令人满意的形式。作为副产品，我们发现了具有两个碱基的环的同伦交叉形式的二次操作。我和我的同事 Christine Vespa 一起计算了辫子群的扭转系数上同调。目标歌剧结构尚未被发现。继续之前的作业 19H01784，在与 Arthur Soulie 的联合研究中，我计算了曲面的单位切丛同调群的 Tor 群和外积系数为映射类群的扭转稳定上同调群。由于其复杂性，五阶叉积是我们的极限，到目前为止我们已经完成了计算。但核对计算需要花费大量的精力和时间，因此被延长至2023年。部分结果作为预印本 arXiv 发布：2211.02793。我们共同主办了“叶状结构理论研讨会”和“叶状结构几何及其应用”研究会议。

项目成果

Stable cohomology of the mapping class groups with some particular twisted coefficients

具有某些特定扭曲系数的映射类群的稳定上同调

• 发表时间: 2022
• 作者: Alekseev Anton;Kawazumi Nariya;Kuno Yusuke;Naef Florian;Nariya Kawazumi
• 通讯作者: Nariya Kawazumi