ＬＭＯ関手の視点からみたスケイン代数による写像類群と有限型不変量の研究

从LMO函子角度利用Skeyne代数研究映射类群和有限类型不变量

基本信息

批准号：
18J00305
负责人：
辻俊輔
金额：
$ 2.33万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2018
资助国家：
日本
起止时间：
2018-04-25 至 2021-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

令和元年度の研究では、テュラエフが1990年に導入したあるスケイン代数（ここでは、ブラケット・スケイン代数と呼ぶ）を用いた研究が中心であった。令和元年度の研究では、ブラケット・スケイン代数の値をとるホモロジー・シリンダーの不変量を構成した。この不変量は、ホモロジー・シリンダーの完備基本群への作用と同値である。このブラケット・スケイン代数での研究は、基本群の研究の新たなアプローチとして評価できるが、基本群の情報しか持たないことが問題点である。令和２年度の研究では、他のスケイン代数でホモロジー・シリンダーの不変量を構成することができた。この不変量は、カウフマン・ブラケット・スケイン代数や、HOMFLY-PTスケイン代数で構成ができた。カウフマン・ブラケット・スケイン代数でのホモロジー・シリンダーの不変量は基本群のsl(2) 表現と sl(2) 大槻級数二つの情報を持つことが分かった。さらに、HOMFLY-PT スケイン代数でのホモロジー・シリンダーの不変量は基本群の情報と sl(N)大槻級数すべての情報を持つことが分かった。このように、これらのスケイン代数でのホモロジー・シリンダーの不変量は量子トポロジーの情報も持っている。この不変量は、二つの側面を持つ。一つ目は、ブラケット・スケイン代数の不変量を精密化していることである。二つ目は、整係数ホモロジー球面の不変量である大槻級数をホモロジー・シリンダーに拡張したという側面である。実際、このスケイン代数の不変量の構成の仕方は、整係数ホモロジー球面の集合を閉円盤を底面とするホモロジー・シリンダーの集合とみなした時に、カウフマン・ブラケット・スケイン代数でのホモロジー・シリンダーの不変量は sl(2) 大槻級数と一致し、さらに、HOMFLY-PTスケイン代数でのホモロジー・シリンダーの不変量を全てのsl(N)大槻級数と一致する。

2019年的研究重点是使用Tyraev于1990年提出的某个Skane代数（此处称为Bracket-Skane代数）进行研究。2019年的一项研究构成了同源缸体中的不变性，该研究具有支架 - 赛车代数的价值。这种不变等同于同源缸对完整基本组的影响。可以将这项在括号 - 雄性代数中进行的研究作为研究基本组的新方法，但问题在于，它仅包含有关基本组的信息。在2020年的研究中，其他SKANE代数能够在同源气缸中形成不变性。这个不变的可以由Kaufmann Brackett Skane代数和Homfly-PT Skane代数组成。发现Kaufman Brackett Skane代数中同源缸的不变式有两个信息：基本组和SL（2）Otsuki系列的SL（2）表示。此外，发现Homfly-pt Skane代数中同源气缸的不变符具有有关基本组的信息以及有关SL（N）Otsuki系列的所有信息。因此，这些同源缸在Skane代数中不变，也具有有关量子拓扑的信息。这个不变有两个方面。首先是Bracket-Skane代数的不变式的改进。第二个方面是，Otsuki系列是整数 - 循环的同源球形表面的不变，它被扩展到同源缸。 In fact, when this method of constructing the invariants of Skane algebra is considered to be a set of homology cylinders with a closed disk as the base, the invariants of the homology cylinders in the Kaufmann Bracket Skane algebra coincides with the sl(2) Otsuki series, and furthermore, the invariants of the homology cylinders in the HOMFLY-PT Skane algebra与所有SL（N）Otsuki系列相吻合。