ガウスの和の積表示とテ-タ関数の積公式

高斯和的乘积展示与theta函数的乘积公式

• 批准号: 07740002
• 负责人: 大西 良博
• 金额: $ 0.38万
• 依托单位: Iwate University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-07740002/
• 关键词: ガウスの和; アーベル関数; 虚数乗法論; テ-タ関数

ガウスの和の符号決定問題に対して、テ-タ関数の無限積表示をヒントとしてアタックすることが当初の目的であった。しかし、この方向に関しての研究は(それが仮に可能であるとすれば)準備段階にとどまった。今回の成果は、調書で少しだけ触れた別の方向への進展である。これは、2次剰余記号に関するガウス和の三角関数の等分点の値における積表示をアーベル関数論を用いて虚数乗法論の範疇で拡張しようとするものである。2次のガウスの和の表示式を種数0のアーベル関数の特殊値の積によるものと解すれば、C.R.Matthewsらによる、3および4次のガウスの和の適当な楕円関数の特殊値による積表示という一般化があり、5次以上の剰余記号に関するガウスの和も適当なアーベル関数の特殊値の積として表示できるのではないかと期待される。2、3、4次のガウスの和の場合、1の2、3、4乗根の群が作用する三角関数あるいは楕円関数の特殊値の積がそのガウスの和の2、3、4乗になるという事実が基本的である。したがってそのような事実をより高い種数のアーベル関数に対しても与えられるならば目的の表示が得られるかも知れない。そのような事実は種数2のある一つの場合にD.Grantによって発見された。今回の研究では、その証明を改良しつつ種数2および3のいくつかの別のアーベル関数に対しても同様の結果を得た。証明は、ヤコビ多様体が円分体に虚数乗法をもつような代数曲線に付随するリーマンのテ-タ関数が、志村・谷山の意味で正規化されているという事実の筆者による発見に基づいている。証明に際し、細部にかなり微妙な部分があったが、今回それらの部分を切り抜けることに成功し、論文“Complex multiplication formulae for curves of genus three"としてまとめ専門雑誌に投稿した。議論のため京都大学、静岡大学、都立大学、東北大学に出張し、文献収集や証明のチェックを行った。

最初的目的是解决使用 theta 函数的无限乘积表示作为提示来确定高斯和的符号的问题。然而，这个方向的研究（如果可能的话）仍处于初级阶段。这一结果代表了报告中简要提到的不同方向的进展。这是在虚乘理论范围内使用阿贝尔函数理论扩展关于二次余数符号的高斯和三角函数等距值的乘积表示的尝试。如果我们将二阶高斯和的表达式解释为属 0 的阿贝尔函数的特殊值的乘积，我们可以得到三阶和四阶高斯和的特殊值的乘积适当的椭圆函数，如 C.R. Matthews 等人提出的，有一种称为表示的概括，并且期望 5 阶或更高阶的余数符号的高斯和也可以表示为适当的阿贝尔函数的特殊值的乘积。对于二阶、三阶和四阶高斯和，1 的 2 阶、3 阶和 4 阶根为 1 的 2 阶、3 阶和 4 阶幂的三角函数或椭圆函数的特殊值的乘积高斯总和发生这种情况是根本性的。因此，如果对于更高属的阿贝尔函数也可以给出这样的事实，则可以获得期望的表达式。 D. Grant 在 2 属的一个案例中发现了这一事实。在本研究中，我们改进了证明，并对其他几个属 2 和 3 的阿贝尔函数获得了类似的结果。证明基于作者的发现，即与代数曲线相关的黎曼 theta 函数，使得雅可比变换在分圆算子上具有虚数乘法，在 Shimura-Taniyama 意义上是标准化的。证明中有一些非常微妙的细节，但我们成功地克服了它们，编写了一篇题为“三格曲线的复乘法公式”的论文，并将其提交给一家专业期刊。他曾前往京都大学、静冈大学、东京都立大学、东北大学进行讨论、收集资料、校对证据。