虚数乗法論とKP方程式の関連について

关于虚数乘法理论与KP方程的关系

基本信息

批准号：
15654001
负责人：
村林直樹
金额：
$ 1.79万
依托单位：
Yamagata University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
2003
资助国家：
日本
起止时间：
2003 至 2005
项目状态：
已结题

项目摘要

主偏極CM型アーベル多様体がある代数曲線のヤコビ多様体となるための必要十分条件を対応するCM体の言葉で書き下すことが本研究のテーマである。そのために、京都大学の塩田氏により証明されたKP方程式に関するNovikov予想に着目し、KP方程式と虚数乗法論の関連を探ろうというのがアイデアである。本年度の目標は、引き続きコンピューターを使ってCM体からつくられるデータ関数のフーリエ係数を高い次数まで計算し、この計算結果とこれまで文献調査を通じて学んだ4つの事:「(1)代数曲線とKP方程式の関係を論じたKricheverの理論;(2)微分方程式の知識を駆使しNovikov予想を解決した塩田の理論;(3)塩田の理論から微分方程式に関するテクニックを極力排除し幾何的な証明を試みたArbarello, Concini, Mariniの理論;(4)KP方程式の解全体が普遍グラスマン多様体を形成するという佐藤理論」を用いて、KP方程式と虚数乗法論の関連、特にKP方程式とアーベル多様体の自己準同形写像との関連に関して深く考察する事であった。この目標についてはあまり著しい結果が得られなかったが、この考察の課程で新たな二つの研究課題:「(A)CM型楕円曲線のmodularityの定義体とその応用;(B)QM型アーベル曲面の場合のclass polynomial」が見つかった。(A)に関しては、「代数体上定義されたCM型楕円曲線はある等分点の座標を添加した体まで係数拡大すると、そこ上必ずmodularとなる」という結果が得られ、現在、それをまとめた論文:「Modularity of CM elliptic curves over division fields」を、Journal of Number Theoryに投稿中である。(B)に関しては、このテーマで平成18年度の基盤研究(C)(一般)に申請中である。

本研究的主题是写出主极化 CM 型阿贝尔簇作为相应 CM 场的代数曲线的雅可比簇的充要条件。为此，思路是围绕京都大学盐田先生证明的关于KP方程的诺维科夫猜想，探讨KP方程与虚数乘法理论的关系。今年的目标是继续使用计算机计算从 CM 域到高阶创建的数据函数的傅里叶系数，并总结这次计算的结果以及我通过文献研究学到的四件事：``（1）代数曲线和讨论方程之间关系的 KP Krichever 理论；（2）Shioda 的理论，充分利用他对微分方程的知识解决了诺维科夫猜想；（3）尝试通过从 Shioda 的理论中消除与微分方程相关的技术来进行几何证明。尽可能多的阿巴雷洛， Concini，Marini的理论；（4）Sato的KP方程的所有解形成通用格拉斯曼簇的理论，目的是深入考虑与同构的关系。尽管在这一目标上没有取得重大成果，但在讨论过程中提出了两个新的研究主题：（A）CM型椭圆曲线模性的定义域及其应用；（B）QM型阿贝尔曲线类。多项式”被发现。关于（A），我们得到的结果是：“如果我们将代数域上定义的 CM 型椭圆曲线的系数扩展到其中某个等距点的坐标相加的域，则它将始终成为其中的模我们目前正在研究这一问题，最终的论文：“除法域上的 CM 椭圆曲线的模块化”目前正在提交给《数论杂志》。关于（B），我们目前正在申请2006年该主题的基础研究（C）（一般）。