代数曲線に関するアルゴリズムとアーベル多様体及びそのモデュライ空間の数論的研究

代数曲线算法和阿贝尔簇及其模空间的算术研究

• 批准号: 14740029
• 负责人: 梅垣 敦紀
• 金额: $ 1.66万
• 依托单位: Sophia University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2002
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2002 至 2004
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-14740029/
• 关键词: アーベル多様体; モデュライ空間; 有理点; 偏極; 虚数乗法; 虚数乗法論; 国際情報交換; スペイン

研究テーマは「アーベル多様体の保形性」である。これは「有理数体Q上定義される楕円曲線はすべて保形性を持つ」という谷山氏村予想と呼ばれる問題に端を発するものである。現在では十分な解決をみたこの予想は、有名なFermat予想と直結して注目を集めた問題であり、1次元アーベル多様体である楕円曲線と1変数保形形式とを結びつける深遠な意味を持つ問題でもある。現在では、この予想の対象がQ上の楕円曲線にとどまること無く、アーベル多様体のより大きな族に拡張されている。このテーマの下で、とりわけ、(1)(1,d)型のアーベル曲面のモデュライ空間におけるある性質を満たす有理点の決定(2)種数2の代数曲線に関するアルゴリズムの開発とその実装(3)アーベル曲面と2次元ジーゲル保形形式との対応という問題に焦点を当てて研究を行っている。(1)の問題については、2次体上の有理点を与えるアーベル曲面や有理数体上定義されるがその自己準同型環が4次CM体の極大整環ではない整環となるようなアーベル曲面の具体例を数多く構成した。また、(2),(3)の問題に関しても、多変数の保系形式のフーリエ係数を計算することにより、いくつかの具体例について取り組んだ。以上の研究成果のまとめとして、3月にカナダのトロント大学で開かれたGANITAセミナーにおいて講演を行った。さらに、これらの結果について論文として纏め発表する予定である。さらに、8月に広島県福山市で開催した第12回整数論サマースクールでは、90人近い参加者を集め世話人として会を取りまとめた。

研究主题是“阿贝尔变种的形态发生”。这源于一个名为“谷山宇吉村猜想”的问题，该猜想指出“在有理数域 Q 上定义的所有椭圆曲线都具有形态。”这个现已得到圆满解决的猜想是一个备受关注的问题，因为它与著名的费马猜想直接相关，并且对于连接一维阿贝尔簇和单变量自同构形式的椭圆曲线具有深远的影响。这也是一个问题。如今，这个猜想不仅限于 Q 上的椭圆曲线，而且已经扩展到更大的阿贝尔簇。在此主题下，除其他外，(1) 确定满足 (1, d) 型阿贝尔曲面模空间中某些性质的有理点，(2) 开发 2 代数曲线算法及其实现 ( 3) ) 我的研究重点是阿贝尔曲面和二维Siegel自守形式之间的对应问题。关于问题（1），存在在二次域上给出有理点的阿贝尔曲面，或在有理数域上定义的阿贝尔曲面，但其自同态环是良序环，但不是极大井构造了许多曲面的具体例子。此外，关于问题（2）和（3），我们通过计算多元相干形式的傅里叶系数来研究几个具体例子。作为上述研究成果的总结，我于3月份在加拿大多伦多大学举办的GANITA研讨会上做了演讲。此外，我们计划将这些结果汇编并发表在一篇论文中。此外，8月，他在广岛县福山市举办了第12届数论暑期学校，吸引了近90名参与者并担任主办方。

项目成果

UMEGAKI Atsuki: "Determination of all Q-rational CM-points in the moduli spaces of polarized abelian surfaces"Analytic Number Theory, C.Jia and K.Matsumoto (eds.), Developments in Mathematics. 6. 349-357 (2003)

UMEGAKI Atsuki：“极化阿贝尔曲面模空间中所有 Q 有理 CM 点的确定”分析数论，C.Jia 和 K.Matsumoto（编辑），数学发展。

梅垣 敦紀: "代数的整数論(足立恒雄監修)(平野 皓正編)(原著:J.ノイキルヒ著 Algebraishe Zahlentheorie)"シュプリンガー・フェアラーク東京株式会社. 585 (2003)

Atsunori Umegaki：“代数数论（足立恒夫编辑）（平野照正编辑）（原作者：J. Neukirch 着的 Algebraishe Zahlentheorie）” Springer-Verlag Tokyo Co., Ltd. 585 (2003)

Determination of all Q-rational CM-points in the moduli spaces of polarized abelian surfaces

极化阿贝尔曲面模空间中所有 Q 有理 CM 点的确定

• 发表时间: 2002
• 期刊: Analytic Number Theory, Developments in Mathematics(C.Jia and K.Matsumoto(eds.)) 6
• 作者: UMEGAKI;Atsuki
• 通讯作者: Atsuki