フラクタル上の自己回避確率過程

分形上的自回避随机过程

• 批准号: 06740142
• 负责人: 服部 哲弥
• 金额: $ 0.64万
• 依托单位: Utsunomiya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1994
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1994 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-06740142/
• 关键词: セルフアヴォイディングウォーク; 自己回避確率過程; フラクタル; くりこみ群; 臨界現象; リヤプノフ関数; 漸近評価; 熱力学的極限

本研究の目的は,d-次元pre-sierpinski gasket上のself-avoiding walk(自己回避確率過程)の諸性質を調べることであった。本研究によってd-次元pre-Sierpinski gasket上のself-avoiding walkに対応するくりこみ群の,斥力potentialに対応する不変部分空間の決定と、自明でない固定点の存在が証明された。また,くりこみ群に対するこの部分空間内での自然なLyapnov関数の決定について予備的な考察を得た。Self-avoiding walkの漸近的評価の精密な決定はくりこみ群力学系の大局的なtrajectoryの不動点への収束と,不動点付近での力学系の定量的評価が必要である。後者は力学系の不動点近傍の比較的一般的な問題だが,前者は個別の問題毎に調べる必要があり,self-avoiding walkに対応するくりこみ群に対しては未解決である。これに関して,本質的な鍵となるLyapnov関数を構成できる可能性を得た。Potentialの斥力性を表すparameter空間上のある関数がLyapnov関数になることが予想される。これは今後の課題である。不動点への収束やLyapnov関数の存在がある弱い条件の下で広い範囲の力学系に対して成立する可能性を,備品として備えた電子計算機によって検討することができた。これが以上の考察を行う上で重要な役割を果たした。self-avoiding walkはマルコフ性を持たない確率過程の典型的な例として特徴的かつ極めて重要な数学的対象であり,また物理や化学をはじめとする諸科学への応用範囲も広い。マルコフ性に依存しない確率過程の解析方法の開発は21世紀の確率過程論の大目標であるが,これまでの進歩は極めてわずかであった。マルコフ性に依存しない解析方法としてのくりこみ群力学系による解析を進展させ,一層の発展の可能性を示した点で成果があった。

这项研究的目的是研究自避免行走的特性在d维前固定前垫圈上。这项研究证明了对应于排斥潜力的不变子空间的确定以及对对应于d维前sierpinski垫圈自我避免行走的重新归一化组的非平凡固定点的存在。我们还获得了对重新归一化组中自然Lyapnov函数的确定的初步考虑。对自我避免行走的渐近评估的精确确定需要收敛到重新归一化的组力学系统的固定点以及对固定点附近的机械系统的定量评估。后者是动态系统固定点附近的一个相对常见的问题，但是对于每个单独问题，前者需要研究前者，并且对于对应于自我避免步行的重新归一化组未解决。在这方面，我们有可能构建基本关键的Lyapnov函数。可以预期，参数空间中代表电势排斥的函数将成为lyapnov函数。这是一个未来的挑战。可以通过配备作为设备的电子计算机来检查固定点和Lyapnov函数的存在的可能性。这在提出上述考虑方面发挥了重要作用。自我避免的步行是特征性和极为重要的数学对象，作为没有马尔可夫特性的随机过程的典型示例，也广泛应用于包括物理和化学在内的各种科学。分析不依赖马尔可夫性质的随机过程的方法的开发是21世纪随机过程的主要目标，但进步非常小。结果是在该分析中使用重新归一化的组力学系统作为不依赖马尔可夫性质的分析方法实现的，并显示了进一步发展的可能性。