フラクタル上の非等方拡散の均質化

分形各向异性扩散的均匀化

• 批准号: 07640279
• 负责人: 服部 哲弥
• 金额: $ 0.38万
• 依托单位: Utsunomiya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-07640279/
• 关键词: ディリクレ形式; フラクタル; 漸近一次元拡散; 非等方性; くりこみ群; 電気抵抗回路; シルピンスキーカーペット; infinitely ramified fractal

本研究の目的は,フラクタル,特にinfinitely ramified fractal,の上の非等方拡散の均質化,あるいは等方性の回復,を調べることであった.この問題は,フラクタル上の拡散の一意性やhomogenizationの問題の解決に必要な要素として知られる重要な問題であり,finitely ramified fractalに関しては著者を含めて多くの結果が得られているのに対して,infinitely ramified fractalでは全く手がつけられていなかった.Infinitely ramified fractalのもっともよく知られた例であるpre-Sierpinski carpetの上の有効抵抗の非等方性の漸近的な振る舞いに関して,本研究によって次の成果を得た.1.Finitely ramified fractalsの場合と同様,等方性の完全な回復を予想するが,現時点では困難な問題である.パラメータについて一様な漸近的評価(弱い意味の等方性の回復)を目標とするべきであることを決定した.2.フラクタルに特徴的な自己相似性を生かして問題を再帰不等式に帰着させるのが自然な発想である.既に等方的有効抵抗についてはBarlow-Bassの再帰不等式が知られていた.この再帰不等式も非等方的な場合に拡張できると考えられるが,弱い意味の等方性の回復を証明するためには必要ないであろうという結論を得た.むしろ,非等方性の強い,Barlow-Bass型不等式が悪い評価になっているパラメータ領域で有効な,別の再帰不等式群が重要であると考える。このような不等式は有効抵抗を変分問題によって表現したときの試行関数を再帰的に構成することで得られる.技術的には,変分問題のdmainに入るような試行関数を構成することに問題が帰着されることが分かった.

这项研究的目的是研究各向异性扩散在分形上，尤其是无限分形的分形的均匀化。这个问题是一个重要的问题，即解决分形和均质化问题的扩散唯一性的必要元素，尽管有限分解的分形获得了许多结果，包括作者，无限分离的分形，但根本没有完成。这项研究发现了以下结果，这些结果是对锡层地毯上各向异性耐药性的渐近行为，这是最著名的无限分形分形的例子。1。最终对分形进行了预期，我们期望完全恢复各向同性性质，但这是这一点难题。我们认为，参数的均匀评估（恢复弱感的各向同性性质）应该是目标。2。自然的想法是利用分形的自相似​​性特征将问题变成递归的不平等。同型有效的抵抗力，巴洛 - 巴斯的递归不平等已经众所周知。递归不平等。这种不平等也被认为在各向素质的情况下是可以扩展的，但尚未依赖于必要的意义，因此可以恢复这种情况。相反，我们认为另一组递归不平等，在严重评估Barlow-Bass类型不等式的参数域中有效。当有效的电阻通过变异问题表达时，可以通过递归构建试验功能来获得这种不平等。已经发现，从技术上讲，构建了属于变异问题领域的试验功能。

项目成果

M. T. Barlow: "Restoration of isotropy on fractals" Phusical Reveiw Letters. 75. 3042-3045 (1995)

M. T. Barlow：“分形各向同性的恢复”物理评论快报。

T. Hattori: "Transition density of diffusion on the Sierpinski gasket and extension of Flory's formula" Phusical Reveiw E. 52. 1202-1205 (1995)

T. Hattori：“Sierpinski 垫片上扩散的过渡密度和 Flory 公式的扩展”Phusical Reveiw E. 52. 1202-1205 (1995)