フラクタル上の非等方拡散の均質化

分形各向异性扩散的均匀化

• 批准号: 07640279
• 负责人: 服部 哲弥
• 金额: $ 0.38万
• 依托单位: Utsunomiya University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
• 财政年份: 1995
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1995 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-07640279/
• 关键词: ディリクレ形式; フラクタル; 漸近一次元拡散; 非等方性; くりこみ群; 電気抵抗回路; シルピンスキーカーペット; infinitely ramified fractal

本研究の目的は,フラクタル,特にinfinitely ramified fractal,の上の非等方拡散の均質化,あるいは等方性の回復,を調べることであった.この問題は,フラクタル上の拡散の一意性やhomogenizationの問題の解決に必要な要素として知られる重要な問題であり,finitely ramified fractalに関しては著者を含めて多くの結果が得られているのに対して,infinitely ramified fractalでは全く手がつけられていなかった.Infinitely ramified fractalのもっともよく知られた例であるpre-Sierpinski carpetの上の有効抵抗の非等方性の漸近的な振る舞いに関して,本研究によって次の成果を得た.1.Finitely ramified fractalsの場合と同様,等方性の完全な回復を予想するが,現時点では困難な問題である.パラメータについて一様な漸近的評価(弱い意味の等方性の回復)を目標とするべきであることを決定した.2.フラクタルに特徴的な自己相似性を生かして問題を再帰不等式に帰着させるのが自然な発想である.既に等方的有効抵抗についてはBarlow-Bassの再帰不等式が知られていた.この再帰不等式も非等方的な場合に拡張できると考えられるが,弱い意味の等方性の回復を証明するためには必要ないであろうという結論を得た.むしろ,非等方性の強い,Barlow-Bass型不等式が悪い評価になっているパラメータ領域で有効な,別の再帰不等式群が重要であると考える。このような不等式は有効抵抗を変分問題によって表現したときの試行関数を再帰的に構成することで得られる.技術的には,変分問題のdmainに入るような試行関数を構成することに問題が帰着されることが分かった.

本研究的目的是研究分形，特别是无限分形上的各向异性扩散的均质化或各向同性的恢复，这是被称为解决均质化问题的必要要素的重要问题，并且已经获得了包括在内的许多成果。作者关于无限分支分形，而无限分支分形这项研究在分形方面根本没有做过。关于前谢尔宾斯基地毯上有效阻力各向异性的渐近行为，这是无限分支分形最著名的例子，这项研究得出了以下结果: 1.有限分支与分形的情况一样，我们期望各向同性完全恢复，但这目前是一个难题，我们应该以参数的统一渐近评估为目标（弱意义上的各向同性恢复2）。这是一个自然的想法。利用分形的自相似​​特性将问题简化为递归不等式。 rlow-Bass递归不等式是已知的，尽管人们认为这种递归不等式也可以推广到各向异性情况，但我们没有必要证明弱意义上的各向同性恢复。认为另一组递归不等式很重要，它在具有强各向异性的参数区域和 Barlow-Bass 型不等式评估不佳的情况下有效。当有效阻力由变分问题表示时，可以通过递归构造试验函数来获得这样的不等式。从技术上讲，可以构造落入变分问题范围内的试验函数。事实证明，该问题是可行的。已解决。

项目成果

M. T. Barlow: "Restoration of isotropy on fractals" Phusical Reveiw Letters. 75. 3042-3045 (1995)

M. T. Barlow：“分形各向同性的恢复”物理评论快报。

T. Hattori: "Transition density of diffusion on the Sierpinski gasket and extension of Flory's formula" Phusical Reveiw E. 52. 1202-1205 (1995)

T. Hattori：“Sierpinski 垫片上扩散的过渡密度和 Flory 公式的扩展”Phusical Reveiw E. 52. 1202-1205 (1995)