退化楕円型境界値問題の調和解析とその多変数複素解析への応用

简并椭圆边值问题的调和分析及其在多元复分析中的应用

基本信息

批准号：
07640158
负责人：
新井仁之
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Tohoku University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)
财政年份：
1995
资助国家：
日本
起止时间：
1995 至无数据
项目状态：
已结题

项目摘要

本科学研究費の補助によって下記のような研究実績をあげることができた。1.研究代表者である新井は境界を持つリーマン多様体の境界で退化する楕円微分方程式の調和解析的研究を行い、その調和測度と調和関数の境界挙動を解明した。退化の仕方により調和測度の境界挙動が大きく変化するという奇妙な現象を発見し、それを定量的に評価することができた。また、その応用として、種々の関数空間やカ-ルソン測度に関する結果を得た。そしてヴォイタシュチ-ク・ミュラーの問題を一般化した形で肯定的に解決した。詳しくは裏面の新井の発表論文に書かれてある。2.以上の他、新井はnilpotentリー群上の退化楕円型疑微分方程式の解のMorrey-Holder評価を証明した。この結果はL^p-Holder評価をより精密にしたものである。新井の結果はしたがって古典的な楕円型疑微分方程式の解のL^p-Holder評価をリー群上の退化楕円型疑微分方程式に拡張したものと見ることができる。応用として多変数複素解析に現れる強擬凸CR多様体上の接Cauchy-Rimann方程式の解の精密な評価も得ることができた。この結果は現在論文を投稿中である。3.分担者はそれぞれ次のような成果を得た。西川は負曲率等質空間上の調和写像の無限遠境界値問題を解くことに成功した。これは本研究にとって大きな進展であった。高木は活性因子一抑制因子の反応拡散方程式について多くの結果を得た。猪狩は掛谷の極大関数に関する調和解析の古典的問題の部分的解答を証明した。この問題は、もし完全に解ければ固有関数展開に大きな貢献が可能となるものである。斎藤の作用素環を使って得た結果、藤家の偏微分方程式的手法を用いた研究、板東の安定正則ベクトル束のEinstein-Hermitian metricsの退化の研究も本研究に寄与した。以上のように研究成果は期待以上に満足できるものであった。

得益于这项科研资助金，我们能够取得以下研究成果。 1. 首席研究员荒井对在有边界的黎曼流形边界处退化的椭圆微分方程进行了调和分析研究，阐明了调和测度和调和函数的边界行为。我们发现了一种奇怪的现象，即谐波测度的边界行为根据简并方法的不同而发生很大变化，并且能够对其进行定量评估。此外，作为该方法的应用，我们获得了有关各种函数空间和卡尔森测度的结果。他以广义的形式肯定地解决了 Wojtaszczyk-Müller 的问题。背面的新井论文中写有详细信息。 2. 除上述之外，Arai 还证明了幂零李群上简并椭圆赝微分方程解的 Morrey-Holder 求值。该结果是 L^p-Holder 评估的更精确版本。因此，Arai 的结果可以被视为经典椭圆赝微分方程解的 L^p-Holder 评估的扩展，以简化李群上的椭圆赝微分方程。作为一个应用，我们还能够对多元复分析中出现的强拟凸 CR 流形上的正切 Cauchy-Rimann 方程的解进行精确评估。结果目前正在以论文形式提交。 3.每位参与者都获得了以下结果。西川成功地解决了负曲率齐次空间上调和映射的无限边值问题。这是这项研究的重大进展。 Takagi 在激活剂-抑制剂的反应-扩散方程上取得了许多成果。 Igari 证明了 Kaketani 关于最大函数的调和分析经典问题的部分解决方案。如果这个问题得到彻底解决，将有可能对本征函数展开做出重大贡献。使用 Saito 的算子代数获得的结果、Fujike 使用偏微分方程方法的研究以及 Bando 对稳定正则向量丛的 Einstein-Hermitian 度量退化的研究也对这项研究做出了贡献。如上所述，研究结果比预期更令人满意。