解析函数の空間における微分方程式の研究へのエネルギー評価の導入

将能量评估引入解析函数空间微分方程的研究

基本信息

批准号：
14654029
负责人：
若林誠一郎
金额：
$ 2.18万
依托单位：
University of Tsukuba
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Exploratory Research
财政年份：
2002
资助国家：
日本
起止时间：
2002 至 2004
项目状态：
已结题

项目摘要

佐藤超函数(解析函数)の枠組、ウルトラディストリビューション(Gevrey族)の枠組及びディストリビューション(C^∞函数)の枠組で、エネルギー評価の観点から統一的に(擬)微分作用素の局所可解性を取り扱い、例として主部がD_1^2+・・・+D_<n-1>^2+x_n^2D_n^2である作用素に対して、それぞれの枠組における局所可解性のための必要条件・十分条件を与えた。ディストリビューションの枠組では、局所可解性の研究においてエネルギー評価が非常に有効な手段であることは古くから知られていた。また佐藤超函数の枠組に対しては"Classical Microlocal Analysis in the Space of Hyperfunctions, Springer Lecture Notes in Math.vol.1737"において、如何にエネルギー評価を用いればよいかを示した。今年度の研究においてウルトラディストリビューションの枠組においても同様の取り扱いが可能であることを示した。感覚的な言い方をすれば局所可解性の研究はディストリビューションの枠組で考えることが一番難しく、不確定性原理に基づくエネルギー評価法を発案し用いることにより、不十分ではあるが、ディストリビューションの枠組においても局所可解性の十分条件を得た。今年度の後半は、双曲型方程式系に対するCauchy問題のC^∞適切性についても研究した。、特に主部が定係数である1階双曲系に対して非常に制限された条件の下ではあるが、C^∞適切性のための必要十分条件を得た。この結果は作用素の行列式が比較的簡単に定義される場合のものであり、一般の状況で如何に行列式を定義すれば良いかについても考察した。しかし個別の例に対して行列式を定義したにすぎず、不十分な結果に終わってしまった。今後の発展につなげたいと思う。

在Sato超函数（解析函数）、超分布（Gevrey族）、分布（C^∞函数）的框架下，我们可以从能量评估的角度统一评估（伪）微分算子。我们处理局部可解性，例如，对于主要部分为 D_1^2+...+D_<n-1>^2+x_n^2D_n^2 的算子，我们计算每个框架中的局部可解性。提供了必要和充分的条件在分布框架中，人们很早就知道能量评估是研究局部溶解度的非常有效的工具。此外，对于佐藤超函数的框架，他在“超函数空间中的经典微局域分析，Springer Lecture Notes in Math.vol.1737”中展示了如何使用能量评估。在今年的研究中，我们表明在超分布框架中可以进行类似的处理。直观地讲，局部可解性的研究是最难在分布框架下考虑的，而通过设计和使用基于不确定性原理的能量评估方法，我们可以解决分布问题，尽管还不够。框架内局部可解的条件今年下半年，我们还研究了柯西问题的C^∞对于双曲方程组的适用性。我们获得了 C^∞ 适用性的充分必要条件，特别是对于主部分具有常系数的一阶双曲系统，尽管条件非常有限。这个结果是在算子的行列式定义相对容易的情况下得到的，同时我们也考虑了一般情况下如何定义行列式。然而，他们只为个别例子定义了决定因素，导致结果并不令人满意。我想将此与未来的发展联系起来。