軌道不安定性による多自由度ハミルトン力学系の普遍的性質に関する研究

轨道不稳定引起的多自由度哈密顿动力系统的普适性质研究

基本信息

批准号：
12750060
负责人：
山口義幸
金额：
$ 1.41万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
2000
资助国家：
日本
起止时间：
2000 至 2001
项目状态：
已结题

项目摘要

多自由度力学系は、一般には非可積分つまりカオス系となるため解析的な手法を用いた理解が難しい。そこで、カオス系の特徴である軌道の指数的不安定性を定量化したリアプノフ指数と、その不安定方向を表すリアプノフベクトルを数値的に求めることにより、系の性質を調べる方法が有用な方法の一つとなっている。本研究の目的は、ハミルトン系に対してこのアプローチ方法を改良・発展させ、マクロな物理的現象をミクロな力学系の立場から理解することにある。力の大きさが有限なハミルトン系では、軌道の進行方向とハミルトニアンの勾配方向との2方向に対しては、指数的軌道不安定性が発生しないことがわかっている。よって、純粋に不安定もしくは安定な方向を得るためには、これら2方向を他の方向から分離しなければならない。つまり、初期時刻でこれら2方向を表す平面に垂直なリアプノフベクトルは、任意の時刻で垂直であるのが望ましい。しかし、従来の方法ではこの要求は満たされない。そこで、運動方程式を測地線方程式として表す幾何学的な方法を用いた。この方法の利点は、曲率と不安定性の関係など、軌道不安定性の幾何学的なイメージが明確になることである。従来の幾何学的方法では、配位空間に適当なリーマン計量を導入していたが、本研究ではこれを相空間にリフトすることにより、上記の要求を満たすような方法論を理論的に確立することに成功した。また、数値計算のアルゴリズムを開発することにより、実装することにも成功し、リアプノフ指数は従来の方法と一致するが、リアプノフベクトルは一致しないことを確認した。応用としてこの方法を二次相転移をおこす系に適用した結果、次の示唆が得られた。(1)臨界点に近づくにつれ、マクロ変数の揺らぎがミクロな不安定性を活用する度合いが大きくなる(2)マクロ変数の揺らぎの発散が、リアプノフベクトルの方向の相関関数に現れるこれらの解析を推進することにより、臨界現象をミクロな立場から理解すること、また逆にミクロな力学系の未解決な問題を解決するためのヒントを得られることなどが期待できる。

多学位的机械系统通常是不可融合或混乱的系统，因此使用分析技术很难理解。因此，一种有用的方法是通过数值确定Lyapunov指数来检查系统的性质，该指数量化了轨道的指数不稳定性，轨道的指数不稳定性，这是混乱系统的特征，以及代表不稳定性方向的Lyapunov向量。这项研究的目的是改善和开发对哈密顿系统的方法，并从微型机械系统的角度理解巨物理现象。已经发现，在力是有限的哈密顿系统中，指数轨道的不稳定性不会在两个方向上发生：轨道的行进方向和哈密顿式的斜率。因此，为了获得纯粹不稳定或稳定的方向，必须将这两个方向与其他方向分开。换句话说，希望在初始时间垂直于代表这两个方向的平面的lyapunov矢量随时垂直。但是，常规方法不满足这一要求。因此，使用几何方法将运动方程式作为大地方程。该方法的优点是它在轨道不稳定性的几何图像中提供了清晰度，例如曲率与不稳定性之间的关系。在常规的几何方法中，将适当的Riemann Metering引入到协调空间中，但是在这项研究中，通过将其提升到相空间中，我们在理论上成功地建立了满足上述要求的方法。我们还通过开发数值算法成功实现了它，确认Lyapunov指数与常规方法匹配，但Lyapunov向量不匹配。作为应用程序，将此方法应用于经历二阶过渡的系统，并获得了以下建议。（1）当我们接近临界点时，宏变量的波动利用微不稳定性的程度增加了。（2）通过促进这些分析，其中宏变量的差异出现在Lyapunov矢量方向的相关函数中，我们可以希望通过从微观的角度理解关键现象，另一方面，我们将能够获得微型动力学系统中未解决问题的提示。