保型形式のみたす微分方程式

满足自守形式的微分方程

• 批准号: 09740103
• 负责人: 大山 陽介
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Osaka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1997
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1997 至 1998
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-09740103/
• 关键词: 保型形式; 非結合代数; 可種分系; 非線型可積分系; 超幾何函数

種数1の保型形式は、一般に3階の2次型の非線型微分方程式を満たす。実際には、その具体形を記述することが重要な問題となる。この非線型方程式は、2階の確定特異点型の線型方程式と、シュワルル微分を通じて関係している。前年度の研究によって、3階の2次型の非線型微分方程式のうち、2階の線型方程式と関係するものは、対応する非結合代数が単位元を持つという条件と対応することがわかった。これをおし進めて、3階の2次型の非線型微分方程式のなかで、ハミルトン系になる場合の条件を非結合代数のことばで考察した。このクラスは、オイラーのコマの方程式を含んでいるものであり、一般的には、保型形式ではなく楕円函数と関係がつくものである。また、3階の2次型の非線型微分方程式の重要な例として、アルファンの方程式と呼ばれるものがある。この方程式は、VI型のパンルベ方程式と関係し、古典解とよばれる特殊な解を記述する方程式である。アルファンの方程式、およびその類似方程式は、いわゆるピカールの解(と関係する解)を補完する方程式になっている。この方程式のベックルンド変換をとって、対応するパンルベ方程式の解空間の全体を考察した。アルファンの方程式とオイラーの方程式は類似した形をしているが、その解の性質は全く異なり、前者はパンルベ性を持たない。この両者の関係を考察して、アルファンの方程式を与える、レベル2の楕円モジュラー曲面の上に、自然に存在するファミルトン構造から定まる発展方程式が、オイラーの方程式になることを示した。ここで、アルファンの方程式は、この楕円曲面のピカール・フックス方程式から得られるものである。

属 1 的自守形式通常满足 3 阶二次非线性微分方程。实际上，重要的问题是描述其具体形式。该非线性方程通过 Schwarle 微分与二阶定奇点型线性方程相关。前一年的研究表明，三阶二次非线性微分方程中，与二阶线性方程相关的，对应于相应的非结合代数具有单位元的条件。更进一步，我用非结合代数考虑了三阶二次非线性微分方程中哈密顿系统的条件。此类包含欧拉彗差方程，这些方程通常与椭圆函数而不是自守形式相关。此外，三阶二次非线性微分方程的一个重要例子是所谓的 Alphan 方程。该方程与 VI 型 Painlevé 方程相关，描述了一种称为经典解的特殊解。 Alphan 方程及其类似方程与所谓的 Piccard 解（及相关解）互补。通过对该方程进行贝克伦德变换，我们考虑了相应 Painlevé 方程的整个解空间。 Alphan方程和欧拉方程的形式相似，但其解的性质完全不同，且前者不具有Painlevé性质。通过考虑两者之间的关系，我们表明，由自然存在于2级椭圆模曲面上的familton结构确定的演化方程，即给出Alphan方程的方程，变成了欧拉方程。这里，Alphan方程是从该椭圆曲面的Picard-Fuchs方程获得的。

项目成果

大山陽介: "Differential eguations for omodala forms with level three" Funkcialaj Ekuacioi. (発表予定).

Yosuke Oyama：“三级 omodala 形式的微分方程”Funkcialaj Ekuacioi（待提交）。

Yousuke Ohyama: "Differential equations for modular forms with level three" Funkcialaj Ekuacioj. (近刊).

Yousuke Ohyama：“三级模形式的微分方程”Funkcialaj Ekuacioj（即将出版）。