非線形放物型方程式の解の挙動の研究

非线性抛物型方程解的行为研究

• 批准号: 09740091
• 负责人: 溝口 紀子
• 金额: $ 1.54万
• 依托单位: Tokyo Gakugei University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1997
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1997 至 1998
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-09740091/
• 关键词: 非線形; 放物型方程式; 有限時間爆発; 符号変化; ライフスパン; 無限次元力学系; 非線形放物型方程式; 解の爆発; 力学系

非線形放物型方程式u_t=Δu+|u|^<p-1>uの初期値問題の解が有限時間で爆発するか時間大域的に存在するかがどのような要因で決定されるのかを研究した。これまでの文献では初期値が非負であることを仮定して正値解のみの挙動しか研究されていなかったが、符号変化を伴う解を扱うことによって解の符号変化の回数(ゼロ点の個数)が上のような解の挙動に大きな影響を与えることが分かった。また解の符号変化の回数は上の方定式で非線形項が逆の反応の場合、即ちu_t=Δu-|u|^<p-1>uの時間大域解の挙動にも爆発問題と類似した影響を及ぼすことを空間次元が1次元の場合に示した。この証明においては無限次元力学系の理論が有効であった。これまでは比較定理の直接的な応用が主要な証明法であった問題を力学系の立場から見ることにより、符号変化が解の挙動に本質的に関わっていることが明らかになった。解が爆発する場合にそのライフスパン(解の最大存在時間)は非常に大きい初期値に対しては初期値の形状のみで明確に記述されることを示した。非常に大きい解に対しては拡散の影響より反応の影響の方がはるかに大きいので、直観的にこの結果は予想されるが、それが正しいこと、さらにライフスパンは拡散項がない場合の常微分方程式のそれと第1項は一致し、第2項は初期値の最大点における2階微分係数によって表現されることを証明した。この結果を証明するために用いた方法は比較定理が成り立たないようなシステムなどの他の問題に対しても有効であると思われる。

研究哪些因素决定了非线性抛物方程u_t=Δu+|u|^<p-1>u的初值问题的解是在有限时间内爆炸还是在时间上全局存在。之前的文献假设初始值是非负的，并且只研究了正值解的行为，但是通过处理符号变化的解，发现符号变化的数量（零点的数量）对上述解决方案的行为。另外，解的符号变化次数与上式中的非线性项有相反反应时的爆炸问题类似，即u_t=Δu-|u|^的时间全局解的行为<p-1>u 与爆炸问题类似，结果表明，当空间维度为一维时，就会出现这种效应。在这个证明中，无限维动力系统理论是有效的。到目前为止，直接应用比较定理是主要的证明方法，通过从动力系统的角度来看这个问题，可以清楚地看出，符号变化本质上涉及解决方案的行为。结果表明，当一个解爆炸时，对于非常大的初始值，它的寿命（解的最大存在时间）只能通过初始值的形状来清楚地描述。这个结果是直观预期的，因为对于非常大的溶液，反应效应比扩散效应大得多，但很明显它是正确的，并且在没有扩散项的情况下寿命是恒定的。第一项被证明。与微分方程一致，第二项用初值极大点处的二阶微分系数表示。用于证明这一结果的方法似乎对于其他问题有效，例如比较定理不成立的系统。

项目成果

N.Mizoguchi,E.Yanagida: "Critical exponents for the blow-up of solutions with sign changes in a semilinear parabolic equation II" J.Differential Equations. 145. 295-331 (1998)

N.Mizoguchi，E.Yanagida：“半线性抛物方程 II 中符号变化解的爆炸的临界指数”J.Differential Equations。

N.Mizoguchi: "Diffusion-induced blowup in a nonlinear parabolic system" J.Dynamics and Differential Equations.

N.Mizoguchi：“非线性抛物线系统中的扩散引起的爆炸”J.动力学和微分方程。

N.Mizoguchi: "Slow decay of solutions in a semilinear parabolic equation" J.Differential Equations. (to appear).

N.Mizoguchi：“半线性抛物型方程解的缓慢衰减”J.Differential Equations。

N.Mizoguchi,E.Yanagida: "Critical exponents for the decay rate of solutions in a semilinear parabolic equation" Arch.Rational Mech.Anal.145. 331-342 (1998)

N.Mizoguchi，E.Yanagida：“半线性抛物线方程中解的衰减率的临界指数”Arch.Rational Mech.Anal.145。

N.Mizoguchi: "Blowup and life span of solutions for a semilinear parabolic equation" SIAM J.Math.Anal.

N.Mizoguchi：“半线性抛物型方程解的爆炸和寿命”SIAM J.Math.Anal。