非線形放物型方程式の解の挙動とメカニズムの解明

阐明非线性抛物型方程解的行为和机制

基本信息

批准号：
11740104
负责人：
溝口紀子
金额：
$ 1.47万
依托单位：
Tokyo Gakugei University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-11740104/
关键词：
nonlinear parabolic blowup asymptotics self-similar 非線形爆発ゼロ点

项目摘要

初期値や非線形項がどのような条件をみたすときに非線形放物型方程式u_t=△u+|u|^<p-1>uの初期値問題および初期値境界値問題の解が有限時間で爆発するかについては既に多くの結果が得られている。今年度は解が有限時間で爆発する場合に爆発時刻での解の様子、例えば、爆発点(解がその近傍で非有界になるような点)や、爆発集合(爆発点全体から成る集合)についての研究を行った。空間次元Nが1の場合には爆発集合は孤立点からなり、その個数は初期値が極値をとるような点の数をこえないことが知られている。しかし、N【greater than or equal】2の場合は、爆発集合のN-1次元のHausdorff measureが有限であることしか分かっていないと思われる。爆発集合の局所的な形状は解の爆発時刻でのプロファイルによって決定されると考えられるので、今年度の研究では元の方程式を爆発時刻からの逆向きの自己相似性を調べる方程式に変換し、その漸近挙動を用いて爆発集合の局所的な構造がある多項式によって記述されることを証明した。また、昨年までの研究で初期値が十分に大きいときに解の爆発時刻は初期値が最大値や最小値をとるような点での初期値の2次以上の偏微分係数によって決まることを示したが、今年度はその結果を利用してこのような場合に解の爆発点の位置は初期値のどの性質に関わっているかを調べた。その結果、空間1次元のときは爆発点の位置は初期値の絶対値のピークにおける2次と3次の微分係数で決まること証明し、初期値がより高いregularityを持っていれば、4次以降の微分係数も影響を与えるような正確な評価を得た。

初值和非线性项满足什么条件才能保证非线性抛物型方程u_t=△u+|u|^<p-1>u的初值问题和初值边值问题的解爆炸于有限的时间？对此已经获得了许多结果。今年，当一个解在有限时间内爆炸时，我们将检查爆炸时解的状态，例如爆炸点（解在附近变得无界的点）和爆炸集（由所有爆炸点）。已知，当空间维数N为1时，爆炸集由孤立点组成，且此类点的数量不超过初始值取极值的点的数量。然而，在N[大于或等于]2的情况下，我们似乎只知道爆炸集的N-1维Hausdorff测度是有限的。人们认为，爆炸集的局部形状是由爆炸时解的轮廓决定的，因此在今年的研究中，我们将原始方程转换为在与爆炸时间相反的方向上考察自相似性的方程利用其渐近行为，我们证明了爆炸集的局部结构是由某个多项式描述的。另外，去年的研究表明，当初始值足够大时，解的爆炸时间由初始值在初始值取最大值时的二阶或更高阶偏微分系数决定。然而，今年，我们利用结果来调查在这种情况下初始值的哪些属性与解决方案的爆炸点位置有关。由此证明，当空间为一维时，爆炸点的位置由初始值绝对值峰值处的二阶和三阶导数决定，并且如果初始值具有较高的规律性，那么爆炸点的位置由四阶确定，我们得到了后续微分系数也有影响的准确评估。