非線形放物型方程式の解の挙動とメカニズムの解明

阐明非线性抛物型方程解的行为和机制

基本信息

批准号：
11740104
负责人：
溝口紀子
金额：
$ 1.47万
依托单位：
Tokyo Gakugei University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1999
资助国家：
日本
起止时间：
1999 至 2000
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-11740104/
关键词：
nonlinear parabolic blowup asymptotics self-similar 非線形爆発ゼロ点

项目摘要

初期値や非線形項がどのような条件をみたすときに非線形放物型方程式u_t=△u+|u|^<p-1>uの初期値問題および初期値境界値問題の解が有限時間で爆発するかについては既に多くの結果が得られている。今年度は解が有限時間で爆発する場合に爆発時刻での解の様子、例えば、爆発点(解がその近傍で非有界になるような点)や、爆発集合(爆発点全体から成る集合)についての研究を行った。空間次元Nが1の場合には爆発集合は孤立点からなり、その個数は初期値が極値をとるような点の数をこえないことが知られている。しかし、N【greater than or equal】2の場合は、爆発集合のN-1次元のHausdorff measureが有限であることしか分かっていないと思われる。爆発集合の局所的な形状は解の爆発時刻でのプロファイルによって決定されると考えられるので、今年度の研究では元の方程式を爆発時刻からの逆向きの自己相似性を調べる方程式に変換し、その漸近挙動を用いて爆発集合の局所的な構造がある多項式によって記述されることを証明した。また、昨年までの研究で初期値が十分に大きいときに解の爆発時刻は初期値が最大値や最小値をとるような点での初期値の2次以上の偏微分係数によって決まることを示したが、今年度はその結果を利用してこのような場合に解の爆発点の位置は初期値のどの性質に関わっているかを調べた。その結果、空間1次元のときは爆発点の位置は初期値の絶対値のピークにおける2次と3次の微分係数で決まること証明し、初期値がより高いregularityを持っていれば、4次以降の微分係数も影響を与えるような正確な評価を得た。

对于通过初始值或非线性项观察到的条件，以及对初始值问题的解决方案以及非线性抛物线抛物线方程U_T =△u+| U | U | U | U |^<p-1> U在有限时间爆炸。今年，我们对解决方案在有限时间（例如爆炸点（爆炸点）（在其附近无限制的点）和爆炸集（由整个爆炸点组成的集合）时，我们对解决方案爆炸爆炸时进行了研究。众所周知，当空间尺寸n为1时，爆炸集由隔离点组成，而初始值不超过采用极值点的点数的点数。但是，在n [大于或相等] 2的情况下，似乎只有n-1尺寸的Hausdorff测量爆炸集是有限的。由于爆炸集的局部形状被认为是在解决方案爆炸时间的轮廓确定的，因此今年的研究将原始方程式转变为一个方程式，该方程式从爆炸时间开始检查逆方向的自相似性，并证明了它由爆炸集的局部结构所描述的。此外，在研究直到去年，当初始值足够大时，解决方案的爆炸时间由初始值的初始值的二次或较高部分差分系数确定，而初始值则最大值或最小值。但是，今年，我们使用结果来研究溶液爆炸点的位置与最初值的哪些特性相关。结果，证明在空间维度的第一维度中，爆炸点的位置取决于初始值的绝对值的峰值的第二和三阶导数，如果初始值具有较高的规律性，则从第四阶开始的衍生物也会产生效果。