スケール不変臨界函数空間における非線型移流拡散方程式系に対する解の構造

尺度不变临界函数空间中非线性平流扩散方程组解的结构

• 批准号: 19K03555
• 负责人: 黒木場 正城
• 金额: $ 2.75万
• 依托单位: Muroran Institute of Technology
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2022-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19K03555/
• 关键词: 空間２次元初期値問題; 特異極限; KellerーSegel方程式系; Lebesgue-Bochner空間; scaling critical space; 熱方程式の最大正則性; 大きな初期値; 移流拡散方程式; 特異極限法; 有限時間爆発解; 高速拡散退化型放物型方程式; 粘菌; 空間２次元初期値問題; 特異極限; KellerーSegel方程式系; Lebesgue-Bochner空間; scaling critical space; 熱方程式の最大正則性; 大きな初期値; 移流拡散方程式; 特異極限法; 有限時間爆発解; 高速拡散退化型放物型方程式; 粘菌

粘菌集合体形成の生物数理モデルは, Keller-Segel 方程式と呼ばれる二つの放物型偏微分方程式の系で記述される．この方程式系の研究のブレイクスルーとなった1995年のNagaiの研究は, 粘菌の走化性放物型方程式の時間発展スケールを粘菌密度関数のそれより極めて小さいと考え導出した，Nagaiモデルと呼ばれる放物型-楕円型偏微分方程式系の数学解析である．本研究の移流拡散方程式系の研究はその多くがNagaiモデルを礎とした放物型-楕円型移流拡散方程式系の数学解析である．Keller-Segel方程式系とNagaiモデル方程式系の数学的相関関係を明らかにすることは極めて重要な研究課題である．本年度は, Keller-Segel方程式系の走化性方程式の時間微分項に緩和時間パラメータτを設置した初期値問題を空間2次元と空間高次元の問題に分けて，解のτ→∞での特異極限問題をそれぞれ考えた. 極限方程式はNagaiモデルである放物型-楕円型移流拡散方程式系と期待できる．Raczynski(2009) とBiler-Brandolese(2009)の先行研究は空間２次元初期値問題に対してscaling 不変なクラスの小さい初期値の時間大域解に対して, 特異極限が行われたもので，その収束位相空間は擬測度空間あるいはLorentz空間である. しかも大きな初期値に対する時間爆発解の議論が含まれていない．本研究では空間2次元および高次元において，大きな初期値に対する時間局所解もふくむ問題に対して，scaling 不変な，Serrinの許容指数を持つLebesgue-Bochner空間で, 自然な特異極限の解析に成功した. 解析には熱方程式の初期値問題に対する, 一般化された最大正則性を用いて, 臨界空間の設定のまま解の平滑化効果から生じる余剰正則性を用いずに, 漸近収束を証明する.

在两个抛物线偏微分方程的系统中描述了用于粘液模具组件形成的生物学模型，称为Keller-Segel方程。 Nagai的1995年研究是研究该方程系统的突破，是对称为Nagai模型的抛物线纤维椭圆形偏微分方程系统的数学分析，该系统得出了Slime霉菌的趋化性抛物性抛物性量表的时间演化量表，其时间比Slime Mold密度函数的slime霉菌要小。这项研究中对流扩散方程系统的大多数研究是基于Nagai模型的抛物线 - 涡流对流扩散方程系统的数学分析。这是一个非常重要的研究主题，旨在阐明凯勒 - 塞格系统与纳迦模型系统之间的数学相关性。今年，我们将放松时间参数τ放置在凯勒 - 塞格方程系统的趋化方程的时间差异项中的初始值问题将其分为空间二维和空间高维问题，并考虑了解决方案的τ→∞的奇异极限问题。可以预期，极限方程将是一种抛物线 - 涡旋对流扩散方程的系统，即一种nagai模型。 Raczynski（2009）和Biler-Brandolese（2009）先前的研究对缩放量表不变的小初始值的小初始值的时间全局解决方案施加了奇异的限制，而收敛相位空间则是伪量学空间或Lorentz空间。此外，它不包括针对大初始值的时间爆炸解决方案的讨论。在这项研究中，我们成功地分析了Lebesgue-Bochner空间中的自然奇异限制，该空间具有缩放不变的锯齿蛋白公差指数，这些问题包括包括二维和较高尺寸中大初始值的时间局部解决方案。为了进行分析，我们使用广义的最大规律性来用于热方程的初始值问题，并在设置关键空间时使用溶液平滑效果所产生的过量规律性，证明了渐近收敛性。