Kazhdan-Lusztig多項式の組合せ論的構造解明

Kazhdan-Lusztig 多项式的组合结构阐明

基本信息

批准号：
09740024
负责人：
田川裕之
金额：
$ 1.34万
依托单位：
Wakayama University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
财政年份：
1997
资助国家：
日本
起止时间：
1997 至 1998
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-09740024/
关键词：
Kazhdan-Lusztig多項式 Coxeter群 Bruhat order

项目摘要

1979年にD.KazhdanとG.Lusztigによって導入されたKazhdan-Lusztig多項式(以下K-L多項式とかく)はCoxeter群の2元に対して定義される整数係数の多項式で、表現論的に非常に重要な意味をもち、全ての係数の非負性が予想されている。この問題は表現論的手法の使えるCoxeter群に対しては肯定的に解決されているが、一般のCoxeter群に対しては未解決問題として残っている。1982年,Lusztigは通常のK-L多項式の多変数化としてweighted parabolic K-L多項式を導入し、1987年にはV.Deodhar がparabolic analogueであるparabolic K-L polynomialを導入した。これらの多項式は通常のK-L多項式よりも構造がもちろん複雑であるが、それ故に情報量も多いと考えられる。従って、拡張された多項式の研究は、K-L多項式の全ての係数の非負性を示すためにも非常に意義のあることである。今年度は、これらの多項式の全ての拡張として昨年度に導入したweighted parabolic K-L多項式の組合せ論的及び表現論的考察を目的として具体的には以下の研究を行った。1.weighted parabolic K-L多項式のweighted K-L多項式を用いた記述を求めた。この結果はDeodharがparabolic K-L多項式とK-L多項式に対して得た結果の拡張となっている。2.K-L多項式を用いて定義されているC_ω基底の1つの拡張をweighted parabolic K-L多項式を用いて導入し、weighted parabolic K-L多項式の帰納的な記述を求めた。この結果はこれまでに導入されたK-L多項式に対する帰納的記述の拡張となっている。3.BrentiがK-L多項式に対して行った方法に従って、inverse weighted parabolic K-L多項式の組合せ論的記述を行い、その系として1次の係数の正確な記述を得た。

Kazhdan-Lusztig多项式（以下简称K-L多项式）由D. Kazhdan和G. Lusztig于1979年提出，是为Coxeter群的两个元素定义的整数系数多项式，在表示方面非常重要理论显着，并且所有系数都非负。尽管对于可以使用表示方法的 Coxeter 群来说，这个问题已经得到了积极的解决，但对于一般的 Coxeter 群来说，它仍然是一个未解决的问题。 1982 年，Lusztig 引入了加权抛物线 K-L 多项式作为普通 K-L 多项式的多元版本；1987 年，V. Deodhar 引入了抛物线 K-L 多项式，它是抛物线的类似物。这些多项式在结构上当然比普通的 K-L 多项式更复杂，但因此被认为包含更多信息。因此，扩展多项式的研究对于证明K-L多项式的所有系数的非负性是非常有意义的。今年，我们专门为了加权抛物线 K-L 多项式的组合和表示考虑而进行了以下研究，这些多项式是去年作为所有这些多项式的扩展引入的。 1.我们利用加权K-L多项式找到了加权抛物线K-L多项式的描述。该结果是 Deodhar 对抛物线 K-L 多项式和 K-L 多项式获得的结果的扩展。 2.我们引入了利用加权抛物线K-L多项式定义的C_ω基的一种扩展，并获得了加权抛物线K-L多项式的归纳描述。该结果是迄今为止介绍的 K-L 多项式归纳描述的扩展。 3、按照Brenti对K-L多项式的方法，对反加权抛物线K-L多项式进行组合描述，得到了系统一阶系数的准确描述。