d-complete posetの組合せ論的及び表現論的研究

d-完备偏序集的组合和表征研究

• 批准号: 13740012
• 负责人: 田川 裕之
• 金额: $ 1.22万
• 依托单位: Wakayama University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Young Scientists (B)
• 财政年份: 2001
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2001 至 2002
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-13740012/
• 关键词: d-complete poset; (P,R)-partition; labeling; q-hook length formula; d-coniplete poset; (P, ω)-partition; hook length

d-complete posetは,1999年にR.A.Proctorによって導入されたposetで,shape(ヤング図形と1対1に対応しているposet)を含む15種類のposetの結合といった形で完全に分類されている.また,d-complete posetの線形拡張の個数はhook lengthを用いて表されるといったことも知られている.ヤング図形に関しては,これまでに組合せ論的及び表現論的に非常に重要な結果が多数報告されている.本研究では,ヤング図形に関連した様々な組合せ論的対象のd-complete posetへの拡張概念の構築及びd-complete posetに関連した表現論の考察といったことを目的とし,本年度は具体的に以下の結果が得られた.1.Pが特別なBird (d-complete posetの1種)のときには,edge labeling Rをうまく定義すれば,(P,R)-partitionの母関数がsemi-standard tableauの母関数と同様の形になることを証明した.この結果は昨年度示したtreeに対する結果の延長として位置づけられる.一般のd-complete posetに対しては現在考察中である.2.d-complete posetのq-hook length formulaは,代数幾何学の手法を用いて証明されたといわれている.この問題は組合せ論の言葉を用いて完全に表現できるので,組合せ論の手法だけを用いても証明できるはずだと考え,鳥取大学の石川雅雄先生と共同でその証明に着手した.その結果,15種類の中の11種類のd-complete posetに対するq-hook length formulaの組合せ論的証明に成功し,その系として,これまでに知られていなかった複雑な対称関数が多数発見された.3.tree, shapeに対するq-hook length formulaの多変数化を行った.この系として,hook length posetを大量に構成するアルゴリズムが見つかった.

d-complete偏序集是R.A. Proctor于1999年提出的偏序集，通过组合15种偏序集进行完全分类，其中包括形状（与Young形状一一对应的偏序集）以及线性扩展的数量。 d-完全偏序集是钩子众所周知，杨氏图可以用长度来表示。迄今为止，在组合学和表示理论方面已经报道了许多非常重要的结果。本研究的目的是构建各种相关组合对象到 d-完备性的扩展概念。偏序集并考虑与 d-完全偏序集相关的表示理论，今年得到了以下具体结果 1.P 是一个特殊的 Bird（d-完全。 poset），我们证明了如果我们定义好边缘标记R，（P，R）分区的生成函数将具有类似于半标准表的形式。这个结果是去年展示的。定位为上面所示树的结果的扩展。目前正在考虑一般的 d-完全偏序集。2.d-完全偏序集的 Q-hook 长度据说这个公式已经用代数几何的方法证明了。既然这个问题可以完全用组合学的话来表达，我想只用组合学的方法应该可以证明它，我们开始证明这一点。与鸟取大学的Masao Ishikawa教授合作。结果，我们发现了15种类型中的11种d-完全偏序集的q-hook长度。成功地实现了该公式的组合证明，并发现了许多以前未知的复杂对称函数作为一个系统。3.将树和形状的q钩长度公式变为多变量，找到了可以构造该系统的算法。大量的钩长度偏序集。

项目成果

Isao ARIMA, Hiroyuki TAGAWA: "Generalized (P, ω)-partitions and generating funcetions for trees"Journal of Combinatorial Theory, Series A. (発表予定).

Isao ARIMA、Hiroyuki TAGAWA：“广义 (P, ω) 划分和树的生成函数”组合理论杂志，A 系列（待提交）。