総実代数体のグリーンバーグ予想とp進ゼータ関数についての研究

全实代数域格林伯格猜想及p进zeta函数研究

• 批准号: 09740003
• 负责人: 田谷 久雄
• 金额: $ 1.47万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1997
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1997 至 1998
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-09740003/
• 关键词: 岩澤理論; 岩澤不変量; イデアル類群; Greenberg予想; p進ゼータ関数; p進L関数; 円分Z_p拡大; Z_p拡大

本年度も昨年度に引続き、p進特殊関数を通した総実代数体(特に実アーベル体)のGreenberg予想の研究を行った。まず、昨年度の成果である総実代数体の円分Z_p拡大におけるアンビグイデアル類群とp進ゼータ関数の特殊値との関係を、実アーベル体におけるそのx-成分とxに付随するp進L関数の特殊値との関係に精密化することに成功した。これはアーベル体に関する岩澤主予想(MazurとWilesが証明)を用いて成された。これによって、Greenberg予想の検証に重要な役割を果たすアンビグイデアル類群の位数の計算が、細分化された対象に対しても可能であることがわかった。この成果は第7回日本数学会国際研究集会「類体論-その100年と明日への展望-」で報告した。また、もう一つの昨年度の研究成果である、実アーベル体の代数的λ-不変量とp進L関数に付随する解析的λ-不変量との関係に関する成果の応用として、p=3が分解しλ_3=0となる実2次体の無限族の存在証明に成功した。これまで奇素数pが不分解である場合にはこのような結果が知られていたが、分解する場合については全く知られていなかった。この研究成果は、Grazで開催されたICM98のサテライトコンファレンス「Conference on Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis」およびSeoulで開催された「The 2^<nd> KIAS Number Theory Conference」(招待講演)で報告した。この周辺に関する研究は現在も継続中である。今後の課題としては、より実効的に円分Z_p拡大のイデアル類群の情報を得る研究を行うことで、特にp-イデアル類群に注目し、p進特殊関数との関係を調べなから研究をしていきたい。

继去年之后，今年我们通过p进特殊函数对全实代数域（特别是实阿贝尔域）的格林伯格猜想进行了研究。首先，我们将解释去年的结果，总实代数域的循环 Z_p 展开中的双向导类群与 p 进 zeta 函数的特殊值之间的关系，以及它在实交换域和附加到 x 的 p 进 L 函数我们成功地改进了与 的特殊值的关系。这是利用关于阿贝尔场的岩泽勋爵猜想（由 Mazur 和 Wiles 证明）完成的。结果，我们发现，对于验证格林伯格猜想起着重要作用的模糊类群顺序的计算，即使对于细分的对象也是可能的。这一结果发表在日本数学会第七届国际会议“类场论 - 100 年和明天的展望”上。另外，作为去年关于实交换域的代数λ不变量与与p进L函数相关的解析λ不变量之间关系的研究成果的应用，p=3被成功分解。证明存在无限族实二次场使得 λ_3=0。到目前为止，当奇素数 p 不可整除时，这种结果是已知的，但当它被分解时，却完全未知。该研究成果在格拉茨举行的ICM98卫星会议“代数数论与丢番图分析会议”和首尔举行的“第二届KIAS数论会议”（特邀报告）上进行了报道。与该领域相关的研究仍在进行中。作为未来的挑战，我们将进行研究，以更有效地获取有关循环 Z_p 扩展的理想类群的信息，特别关注 p 理想类群，并在不调查与我想要的 p-adic 特殊函数的关系的情况下进行研究。去。

项目成果

Manabu Ozaki(共著): "On the Iwasawa λ_2-invariants of certain families of real quadratic fields" Manuscripta Mathematica. 94・4. 437-444 (1997)

Manabu Ozaki（合著者）：“论实二次域的某些族的岩泽 λ_2 不变量”Manuscripta Mathematica 437-444（1997）。

Hisao Taya(単著): "On p-adic L-functions and Z_p-extensions of certain real abelian number fields" Journal of Number Theory. (発表予定)(印刷中).

Hisao Taya（单一作者）：“论某些实阿贝尔数域的 p 进 L 函数和 Z_p 扩展”《数论杂志》（待出版）（正在出版）。