代数体の岩澤加群とp進特殊関数についての研究

代数域Iwasawa模与p-adic特殊函数的研究

• 批准号: 12740004
• 负责人: 田谷 久雄
• 金额: $ 1.41万
• 依托单位: Tohoku University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 2000
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2000 至 2001
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-12740004/
• 关键词: 岩澤理論; 岩澤不変量; Greenberg予想; イデアル類群; 岩澤加群; Z_p拡大; P進L関数; P進ゼータ関数; p進L関数; Zp拡大体; p進ゼータ関数

本年度も昨年度に引続き、総実代数体のGreenberg予想解決に必要と思われる基礎理論の構築、特に代数体の岩澤加群とp進特殊関数に関する研究を中心に行った。主な成果は、昨年度に行った、実2次体におけるGreenberg予想成立のための必要条件に関する福田-小松の定理の、一般の総実代数体への拡張を、より詳しいものにしたことである。つまり、Greenberg予想の成立だけでなく、そのZ_p拡大体の全イデアル類群およびその重要な部分群の位数の決定まで行った。これはまだ完全な一般化と呼べるものではないが、基礎体の情報(イデアル類群とp進単数基準)からZ_p拡大体の岩澤加群の構造がわかるという点で興味深い。また、アーベル体だけでなく、一般の非ガロア拡大にも適用できる面は重要だと思う。コンピュータ計算による数値実験はこの成果を得るために非常に有効だった。それにより多くの具体的例も見つけることができた。ただ、不分岐拡大の構成や全Z_p拡大体の岩澤加群の構造を知るにはまだ道具が不足しているように感じた。この成果で利用したアンビグイデアル類群とp進特殊関数の特殊値の関係についての基礎定理は、日本数学会発行のAdv.Stud.Pure Math.30号で発表した。またGreenber予想成立に関する必要条件に関する成果は、フランスのリールで開催された第22回Journees Arithmetiques(ヨーロッパ地区で隔年に開催される数論の国際集会)で発表した。

继去年之后，今年我们的重点是构建解决全实代数域格林伯格猜想所必需的基础理论，特别是代数域岩泽模和p-adic特殊函数的研究。主要成果是，我们将去年进行的有关格林伯格猜想在实二次域中成立的必要条件的福田-小松定理更详细地推广到一般实代数域。换句话说，我们不仅证实了格林伯格猜想，而且还确定了其Z_p扩展的所有理想类和重要子群的阶。虽然这还不能称为完整的概括，但有趣的是，它使我们能够从基本域（理想类群和p进奇异准则）的信息来理解Z_p扩展域的Iwasawa模的结构。另外，我认为重要的是它不仅可以应用于阿贝尔域，还可以应用于一般的非伽罗瓦展开。使用计算机计算的数值实验对于实现这一结果非常有效。结果，我们找到了很多具体的例子。然而，我觉得我仍然缺乏理解无分支扩展的组成和所有 Z_p 扩展字段的 Iwasawa 模块结构的工具。该结果中使用的关于二义类群与p进特殊函数的特殊值之间关系的基本定理发表在日本数学会出版的Adv.Stud.Pure Math.30中。此外，关于格林伯猜想成立的必要条件的结果也在法国里尔举行的第22届Journees Arithmetiques（欧洲每两年举行一次的国际数论会议）上发表。

项目成果

Hisao Taya: "A sufficient condition for the vanishing of Iwasawa invariants of certain totally real number fields"Abstracts of XXII^<emes> Journees Arithmetiques. (単行本). 66 (2001)

Hisao Taya：“某些完全实数域的 Iwasawa 不变量消失的充分条件”摘要 XXII^<emes> Journees Arithmetiques（精装）66。

Hisao Taya (単著): "Iwasawa invariants and class numbers of quadratic fields for the prime 3"Proceeding of American Mathematical Society. 128・1. 1285-1292 (2000)

Hisao Taya（单一作者）：“Iwasawa 不变量和素数 3 的二次域的类数”美国数学会论文集 128・1 1285-1292（2000）。

Hisao Taya: "On p-adic zeta functions and class groups of Z_p-extensions of certain totally real fields"Adv.Stud.Pure Math., Math.Soc.Japan. 30. 401-414 (2001)

Hisao Taya：“关于某些完全实数域的 p-adic zeta 函数和 Z_p-扩展的类群”Adv.Stud.Pure Math.，Math.Soc.Japan。

Hisao Taya (単著): "Remarks on Iwasawa λ-invariants"Algebraic Number Theory and Drophantine Analysis-Proceeding of the International Conference held in Grace. 単行本. 453-465 (2000)

Hisao Taya（单一作者）：“Remarks on Iwasawa λ-invariants”代数数论和 Drophantine Analysis - 在 Grace 举行的国际会议论文集 453-465（2000 年）。