Mathematical analysis of nematic liquid crystal flows

向列液晶流动的数学分析

• 批准号: 21K13819
• 负责人: 村田 美帆
• 金额: $ 2.75万
• 依托单位: Shizuoka University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2021
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2021-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-21K13819/
• 关键词: ネマティック液晶; Navier-Stokes方程式; 最大正則性; 時間大域解; 液晶; ネマティック液晶; Navier-Stokes方程式; 最大正則性; 時間大域解; 液晶

数学解析において, ネマティック液晶の分子の運動を表す方程式は大きく2つに分類される. 分子の形状に対称性がある場合は1軸性として分類され, 分子の流れを表すベクトルと長軸方向を表すベクトルを未知関数とする方程式で記述される．これを以下, Ericksen-Leslie modelと呼ぶ. 一方で, 分子を直方体とみなす場合等は2軸性として分類され, 分子の配向方向を表す未知関数はテンソルとなる．これを以下，Beris-Edwards model (Q-tensor model)と呼ぶ. 今年度は以下の2つの問題を考察した．1. 全空間における圧縮性Ericksen-Leslie model方程式をLagrange変換し, 線形化すると, 圧縮性Navier-Stokes方程式に対する線形化方程式と熱方程式の連立系となることから, 2つの方程式に対する最大正則性評価と半群の減衰評価を用いてBanachの不動点定理から十分小さな初期値に対し, 時間大域解の一意存在性を得ることができた.2. 半空間におけるBeris-Edwards model有界領域や外部領域を含む一般領域で方程式の適切性を得るためには，全空間と半空間における解析が重要である．昨年度は全空間における時間大域的適切性(cf. Murata and Shibata(2022))を得ることができたので, 次のステップとして半空間で考察を行った. まず部分Fourier変換によってレゾルベント問題の解表示を求め，解作用素のR-有界性を示した．次に，線形化問題の解に対する最大正則性評価を導出し，この評価を用いて十分小さな初期値に対する時間局所解の一意存在性を示すことができた．

在数学分析中，可以将代表分子运动运动运动运动的方程式分为两类。当分子的形状对称时，它们被归类为单轴，被描述为代表分子流动的向量和代表长轴方向的向量的矢量是未知函数的方程式。以下是称为Ericksen-Leslie模型。另一方面，当分子被认为是矩形平行教时，它被分类为双轴，而代表分子方向方向的未知函数是张量。这称为Beris-Edwards模型（Q-Tensor模型）。今年，我们讨论了以下两个问题：1。当所有空间中可压缩的Ericksen-Leslie模型方程都被转换和线性化时，它成为一个线性化方程式和可压缩的Navier-Stokes方程的系统系统，并且可以从Banach的固定固定的Points.2上获得可压缩的Navier-Stokes方程，并且可以获得时机的独特存在。 BERIS-EDWARDS模型方程为半空间，以获得一般区域中方程的适当性，包括有限区域和外部区域，在所有空间和半空间中的分析很重要。去年，我们能够在整个空间中获得全球的时间适用性（参见Murata和Shibata（2022）），因此我们将其作为下一步进行了讨论。首先，我们使用部分傅立叶变换获得了解决问题的解决方案表示，并证明了解决方案操作员的R结合性质。接下来，我们能够得出解决线性化问题解决方案的最大规则性评估，并使用此评估来显示时间局部解决方案的独特存在，以实现足够小的初始值。