非有界領域におけるナビエ・ストークス方程式の自由境界問題

无界域纳维-斯托克斯方程的自由边界问题

• 批准号: 22K13945
• 负责人: 大石 健太
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22K13945/
• 关键词: Navier-Stokes方程式; 自由境界問題; 一相問題; 二相問題; 時間大域解; 時間減衰評価; 最大正則性; 解析半群; 時間大域適切性; 半空間

空間三次元以上の場合の時間大域解の一意存在および減衰評価は既に得られていたため，空間二次元の場合を考察した．時間大域解の一意存在および減衰評価の証明には至らなかったものの，以下に記す主な難点(1)-(3)について解決の見通しが立った．(1) 線形化問題を抽象的なCauchy問題に帰着し，評価が難しい非線形項が非線形問題の解析で現れないようにするアプローチを取ろうとしたが，帰着後の方程式の解の評価からもとの方程式の解の評価を得ることが難しかった．そこで，帰着をせずにもとの方程式をそのまま解析し，評価が難しい非線形項を精密に評価するアプローチを取った．(2) もとの方程式を解析する場合，境界条件に現れる非線形項の評価が困難となる．しかし，半空間のトレース評価を用いてその項のある評価を示した．(3) 非圧縮性条件に現れる非線形項に起因する項の評価に困難が生じた．しかし，分数べきの微分を用いて精密に評価することでその項についてもある評価を示した．(3)で述べた評価を用いるために，分数べきの微分を含む形に空間三次元以上の場合の証明を書き直す必要があるため多少改善する必要ではあるが，(2), (3)で得られた評価はほぼ適切な評価と言えると研究代表者は考える．また，以上の結果が二相問題に応用できることが分かり，齋藤平和准教授との共同研究として次の結果を得た：表面張力と重力を伴わない場合(ゆえに各流体の密度を任意の正数としてもレイリー・テイラー不安定性のようなことは起こらない)に，初期時刻において各流体が占める領域がそれぞれ三次元以上の上半空間と下半空間として，非圧縮性粘性Navier-Stokes方程式系の二相自由境界問題の解の一意存在および減衰評価を得た．また，空間二次元の場合も上記と同様の進捗状況である．この問題は，特に二次元の場合，上空から見た赤潮を含む海面の解析に応用される．

由于已经获得了空间三维或更高的情况，对时间全球解决方案的独特存在和衰减评估已经获得，因此考虑了空间二维的情况。尽管我们无法证明对时间全球解决方案的独特存在和衰减评估，但我们找到了以下列出的主要缺点（1） - （3）的解决方案。 （1）我们试图采用一种方法，该方法将导致线性化问题作为抽象的库奇问题，并防止在非线性问题分析中难以评估的非线性术语，但是很难从对原始方程式的原始方程进行评估，从而在结果后对方程式的方程式评估。因此，我们在没有检索的情况下分析了方程，并采用了一种精确评估难以评估的非线性术语的方法。 （2）分析原始方程式时，很难评估在边界条件下出现的非线性项。但是，我们使用半空间跟踪评估来显示该术语的评估。 （3）很难评估由不可压缩条件下出现的非线性术语引起的术语。但是，通过使用分数能力的差异来精确评估该术语，我们已经对该术语进行了一些评估。为了使用（3）中描述的评估，有必要在空间三维或更高的情况下以空间或更高的形式以含有分数力的差异的形式进行证明，因此首席研究人员认为，在（2）和（3）中获得的评估几乎是适当的评估。 Furthermore, it was found that the above results can be applied to the two-phase problem, and in a joint research with Associate Professor Saito Heiwa, we obtained the following results: When surface tension and gravity are not involved (and therefore, even if the density of each fluid is arbitrary positive number, there is no such thing as Rayleigh-Taylor instability), the unique existence and damping evaluation of the solution to the two-phase free boundary problem of the分别分别占据三维的上半部分时，获得了不可压缩的粘性Navier-Stokes方程系统。此外，在空间二维的情况下，进度情况与上述情况相同。该问题应用于海面的分析，包括从上面看到的红色潮汐，尤其是在两个维度的情况下。

项目成果

On the global well-posedness and decay of a free boundary problem of the Navier-Stokes equation in two-dimensional half space

二维半空间Navier-Stokes方程自由边界问题的全局适定性和衰变

• 发表时间: 2022
• 作者: Kenta Oishi