非有界領域におけるナビエ・ストークス方程式の自由境界問題

无界域纳维-斯托克斯方程的自由边界问题

• 批准号: 22K13945
• 负责人: 大石 健太
• 金额: $ 2.83万
• 依托单位: Waseda University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Early-Career Scientists
• 财政年份: 2022
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2022-04-01 至 2026-03-31
• 项目状态: 未结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-22K13945/
• 关键词: Navier-Stokes方程式; 自由境界問題; 一相問題; 二相問題; 時間大域解; 時間減衰評価; 最大正則性; 解析半群; 時間大域適切性; 半空間

空間三次元以上の場合の時間大域解の一意存在および減衰評価は既に得られていたため，空間二次元の場合を考察した．時間大域解の一意存在および減衰評価の証明には至らなかったものの，以下に記す主な難点(1)-(3)について解決の見通しが立った．(1) 線形化問題を抽象的なCauchy問題に帰着し，評価が難しい非線形項が非線形問題の解析で現れないようにするアプローチを取ろうとしたが，帰着後の方程式の解の評価からもとの方程式の解の評価を得ることが難しかった．そこで，帰着をせずにもとの方程式をそのまま解析し，評価が難しい非線形項を精密に評価するアプローチを取った．(2) もとの方程式を解析する場合，境界条件に現れる非線形項の評価が困難となる．しかし，半空間のトレース評価を用いてその項のある評価を示した．(3) 非圧縮性条件に現れる非線形項に起因する項の評価に困難が生じた．しかし，分数べきの微分を用いて精密に評価することでその項についてもある評価を示した．(3)で述べた評価を用いるために，分数べきの微分を含む形に空間三次元以上の場合の証明を書き直す必要があるため多少改善する必要ではあるが，(2), (3)で得られた評価はほぼ適切な評価と言えると研究代表者は考える．また，以上の結果が二相問題に応用できることが分かり，齋藤平和准教授との共同研究として次の結果を得た：表面張力と重力を伴わない場合(ゆえに各流体の密度を任意の正数としてもレイリー・テイラー不安定性のようなことは起こらない)に，初期時刻において各流体が占める領域がそれぞれ三次元以上の上半空間と下半空間として，非圧縮性粘性Navier-Stokes方程式系の二相自由境界問題の解の一意存在および減衰評価を得た．また，空間二次元の場合も上記と同様の進捗状況である．この問題は，特に二次元の場合，上空から見た赤潮を含む海面の解析に応用される．

由于已经获得了三个维度或更高空间的时间溶液的时间和衰减评估，因此在空间二维维度中考虑了该案例。尽管不可能证明时间范围的解决方案和衰减评估的独特存在，但下面描述的以下主要缺点（1） - （3）被凸显了。 （1）我们试图采取一种方法来解决该行形问题的凯奇问题，并尝试采用一种方法来防止难以评估的非线性术语，从而在非线性问题的分析中出现，但从评估中。返回后方程的解。因此，采取了一种方法来分析原始方程而无需返回，并精确评估难以评估的非线性术语。 （2）分析原始方程式时，很难评估在边界条件下出现的非线性项。但是，使用半空间跟踪评估显示了对该部分的评估。 （3）难以评估在非压制条件下出现的非线性术语引起的术语。但是，使用分数的导数通过精确评估显示了一定的评估。为了使用（3）中描述的评估，有必要在空间三维或更高的情况下以包括差分差异化的形式重写证明，但是（2），（3）中（2）中（3）。此外，事实证明，以上结果可以应用于两个相问题，并且以下结果作为与副教授Kazuwa Saito的联合研究获得：当没有表面张力和重力时（因此，因此，但是，每种流体都是任意数字。系统。在两个维空间的情况下，与上述相同的进展。这个问题，尤其是在二维中，应用于对海面的分析，包括从天空中看到的红潮。

项目成果

On the global well-posedness and decay of a free boundary problem of the Navier-Stokes equation in two-dimensional half space

二维半空间Navier-Stokes方程自由边界问题的全局适定性和衰变

• 发表时间: 2022
• 作者: Kenta Oishi