End-point maximal regularity and its application to the Navier-Stokes equations

端点最大正则性及其在纳维-斯托克斯方程中的应用

基本信息

批准号：
21H00992
负责人：
清水扇丈
金额：
$ 8.07万
依托单位：
Kyoto University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
财政年份：
2021
资助国家：
日本
起止时间：
2021-04-01 至 2025-03-31
项目状态：
未结题

项目摘要

小川教授との共同研究で, 熱方程式の半空間におけるDirichlet 境界値問題およびNeumann境界値問題に対して最大L1正則性を証明した. とりわけ非斉次な境界データに対する関数クラスをTriebel-Lizorkin空間で同定した点が特徴である.この空間は逆に解に対して最適なデータのクラスであることも示された. 凱旋門型Littlewood-Paley分解を時間方向と空間接方向の2進分解を用いて定義し, 境界データを時間優勢領域と接空間優勢領域に分解し,境界ポテンシャルを概直交化するアイデアを用いた.小薗教授, 柳沢教授, Hieber教授, Seyfert博士との共同研究で, 3次元Euclid空間内の滑らかなコンパクトな曲面を境界に持つ外部領域において, 境界に接するものVrと直交するものXrの2種類のLr-調和ベクトル場を考察し, これらの調和ベクトル場の空間がすべての1<r<∞に対して共に有限次元であることを示した. L個の交わらない連結成分をもち, かつ各連結成分の種数をN_j（j=1,..., L）とするとき, Xrの次元はすべての1 < r < ∞に対して N=N_1+...+N_Lである. 一方,Vrの次元はr=3/2を閾値として, 1<r≦3/2のときL-1, 3/2<r<∞のとき Lである．非有界領域である外部領域においてLr-調和ベクトル場をL, Nという幾何学的な位相不変量で特徴づけたと共に, Vrはr=3/2を閾値としてその構造が変化することは，内部領域と外部領域における顕著な差異であるといえる. 小薗教授,Kunstmann教授との共同研究で, 双線形な非線形項をもつ非線形問題の解が, 線形方程式の最大正則性と双線形評価の仮定の下でパラメータトリックによりスケール不変な関数空間に属する解が時空間変数に関してで解析的であることを示した.

在与小川教授的联合研究中，我们证明了热方程半空间中狄利克雷边值问题和诺依曼边值问题的最大L1正则性，特别是证明了Triebel-Lizorkin中非齐次边界数据的函数类。所识别的点具有特征。该空间也被证明是解决方案的最佳数据类。我们使用时间和空间方向上的二元分解来定义凯旋门型Littlewood-Paley分解，将边界数据分解为时间主导区域和切向空间主导区域，并使用使在与 Kozono 教授、Yanagisawa 教授、Hieber 教授和 Seyfert 博士的联合研究中，在边界为三维欧几里得空间中光滑紧致曲面的外部区域中，我们考虑了两种类型的 Lr 谐波矢量场，即与边界接触的 Vr 和垂直于边界的 Xr，并表明对于所有 1<r<∞，这些谐波矢量场的空间都是有限维的当我们有 L 个不相交的连通分量，并且令每个连通分量的亏格为 N_j (j=1,..., L) 时，Xr 的维度对于所有 1 < r < ∞ 。另一方面，以r=3/2为阈值，当1<r≤3/2时，Vr的维度为L-1，当3/2<r<时，Vr的维度为L。是。在外域，即无界域，Lr谐波向量场以几何拓扑不变量L和N为特征，Vr的结构以r=3/2为阈值发生变化，这可以说是一个。在与 Kozono 教授和 Kunstmann 教授的联合研究中，具有双线性非线性项的非线性问题的解为在线性方程最大正则性和双线性评估的假设下，我们通过参数技巧证明了属于尺度不变函数空间的解对于时空变量是解析的。