様々な効果を持つ非線形楕円型方程式の解構造の研究

具有各种效应的非线性椭圆方程的解结构研究

基本信息

批准号：
19K03590
负责人：
生駒典久
金额：
$ 2.41万
依托单位：
Keio University
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
财政年份：
2019
资助国家：
日本
起止时间：
2019-04-01 至 2024-03-31
项目状态：
已结题

项目摘要

本年度は以下の研究テーマについて研究を行い，成果を得た．(A) L^2 ノルム正規化解の存在問題: 本テーマでは，L^2 劣臨界ケース，L^2 臨界ケース，L^2 優臨界ケースという3つの場合を取り扱った．劣臨界ケースでは昨年度までに得られていた成果を拡張し，より広い非線形反応項およびポテンシャル項を取り扱うことに成功し，正値解の存在，解の多重存在性を証明することが出来た．また，臨界ケースと優臨界ケースではポテンシャル項がない状況を考え，球対称解の存在問題を扱い，正値球対称解の存在を示すことができた．(B) 非線形反応項を伴う Born-Infeld 方程式: 本テーマでは，まず Sobolev 臨界反応項を伴う方程式を考察し，この方程式に対して非自明解が存在しないことを示すことができた．次に Sobolev 臨界反応項以外の非線形反応項を考察し，非自明解の存在問題を取り扱った．今年度の研究では，先行研究で扱われていた非線形反応項よりも一般の反応項に対し非自明解の存在と解の多重存在性を示すことに成功した．(C) パラメータに単調依存する汎関数に対する Palais-Smale 列の挙動: 本テーマではパラメータに単調依存する汎関数の族の峠の値に対し，有界な Palais-Smale 列が存在するかどうかを考察した．本年度は，峠の値に対して有界な Palais-Smale 列が全く存在しないようなパラメーターの値が可算無限個かつ有界な範囲内に留まる例を構成することに成功した．

今年，我们对以下研究主题进行了研究，并获得了结果。（a）L^2规范归一化解决方案的存在问题：该主题涉及三个案例：L^2亚临界案例，l^2关键案例和l^2优越的关键案例。在亚临界情况下，我们将获得的结果扩展到去年，成功处理了更广泛的非线性反应项和潜在条款，并能够证明存在阳性解决方案以及解决方案的多重存在。此外，考虑到在关键和临界案例中没有潜在项的情况，我们能够处理球形对称解的存在，并证明存在正值的球形对称解。（b）带有非线性反应术语的出生式式方程：在此主题中，我们首先检查了一个具有sobolev临界反应项的方程式，并能够证明该方程没有非平凡的解决方案。接下来，检查了Sobolev临界反应术语以外的非线性反应术语，并解决了非明显存在的问题。今年的研究成功地表明了非平凡溶液的存在以及对一般反应术语的多重解决方案的存在，而不是先前研究中涵盖的非线性反应术语。（c）单调取决于参数的功能的palais-smale序列的行为：此主题检查是否有有界的palais-smale序列，用于单调依赖于参数的功能家族中通过的通行值。今年，我们成功地构建了一个示例，其中没有与山通道值界定的palais-smale柱，并且该范围内没有可计数和有限的值。