Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ積分量を持つ非線形楕円型方程式の正値解の存在について

具有狄利克雷积分的非线性椭圆方程正确解的存在性

基本信息

批准号：
15J12092
负责人：
内免大輔
金额：
$ 1.39万
依托单位：
Tokyo Institute of Technology
依托单位国家：
日本
项目类别：
Grant-in-Aid for JSPS Fellows
财政年份：
2015
资助国家：
日本
起止时间：
2015-04-24 至 2017-03-31
项目状态：
已结题

来源：
https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-15J12092/
关键词：
多重解の存在 Sobolev臨界問題高次元Kirchhoff型方程式

项目摘要

当該年度，私は次の２つの成果を得た：（１）高次元臨界Kirchhoff型方程式の２つの正値解の存在証明（２）Dirichlet積分量を持つ非線形楕円型方程式に対する初等的アプローチの導入とその多重解の存在証明。（１）について：東京工業大学の柴田将敬氏とともにKirchhoff型方程式の高次元における「Sobolev臨界問題」の解決に取り組んだ。高次元における「Sobolev臨界問題」はKirchhoff型方程式の持つ非局所的係数と臨界非線形項との相互作用の影響により，解くことが非常に困難な問題として知られている。これは，解の存在証明のために重要な近似解の列（Palais-Smale列）の挙動を特徴づける極限方程式の解の一意性が壊れていることに起因する。これを受け，我々は，Fibering Map法と呼ばれる変分的手法の１つを近似解の列の解析に応用するという新しいアイディアを導入し，その困難の解決に挑んだ。結果として，当該研究分野において初めて，高次元における臨界問題の解の存在を証明することに成功した。この成果は当該年度における各学会および研究集会において講演を行った。さらに，同成果は一編の論文にまとめ，学術論文誌に投稿し査読を受けている。（２）について：ここでは，それまでKirchhoff型方程式の解析法として主流であった変分的アプローチとは異なる手法を用いて，その多重解の存在証明を行った。具体的には，Kirchhoff型方程式と，ある半線形楕円型方程式のスケーリングによる対応関係を利用することで，初等的な解析法でその解の存在証明を行うことに成功した。本研究結果は１編の研究論文として，専門誌より出版された。

在今年，我取得了两个结果：（1）证明存在高维临界Kirchhoff方程的两种积极解决方案（2）对非线性椭圆方程式引入了具有DIRICHLET积分的非线性椭圆方程，并证明了其多个解决方案的存在。关于（1）：与东京理工学院的Shibata Masataka一起，他在Kirchhoff型方程式的较高方程中努力解决“ Sobolev Crentic Charge”。由于非局部系数之间的相互作用和Kirchhoff方程的关键非线性项之间的相互作用，因此已知在高维度处的“ Sobolev关键问题”非常难以解决。这是由于表征近似解（palais-smale序列）的行为的极限方程解的损坏的唯一性，这对于证明解决方案的存在很重要。为此，我们引入了一个新想法，将一种称为光纤映射方法的变异方法之一应用于近似解决方案序列的分析，并试图解决此问题。结果，在研究领域，我们首次成功证明了在更高维度下解决关键问题的解决方案。这一结果是在当年的各个学术社会和研究会议上给出的。此外，结果已将其汇编成一篇论文，提交给学术期刊，并进行了同行评审。关于（2）：在这里，我们使用与以前是Kirchhoff型方程的主流分析方法不同的方法证明了多个溶液的存在。具体而言，通过利用Kirchhoff型方程与一定的半线性椭圆方程之间的对应关系，我们成功地使用基本分析方法证明了解决方案的存在。这项研究的结果由专业杂志作为研究论文发表。